futuro

Sábado, 5 de diciembre de 2009

MATEMATICAS: JUGANDO CON PROCESOS ALEATORIOS MIENTRAS EL LOBO NO ESTA

El método de Montecarlo

Los procesos aleatorios, estocásticos o probabilísticos suelen desafiar la intuición y, a veces, aun la de los matemáticos. Sin embargo, la teoría de las probabilidades es tan precisa que, la verdad, uno se queda pasmado. ¿Cómo puede predecirse lo que es aleatorio, azaroso, en apariencia impredecible? Los ejemplos que aparecen aquí sobre el método de Montecarlo pueden convencer (o no) de este asunto. Es azaroso.

 Por Claudio H. Sanchez

En 1944, John von Neumann y Stanislaw Ulam trabajaban en el laboratorio de Los Alamos, investigando sobre la bomba atómica. Ambos eran matemáticos y sus investigaciones eran obviamente teóricas: no podían hacer estallar una bomba cada vez que querían comprobar el resultado de sus cálculos. Pero el análisis teórico tampoco era fácil porque las reacciones nucleares que determinan el funcionamiento de una bomba atómica tienen un comportamiento aleatorio que no responde necesariamente a ecuaciones simples como la trayectoria de un proyectil o la oscilación de un péndulo. Entonces decidieron simular ese proceso aleatorio con otro dispositivo aleatorio: una ruleta. Bajo ciertas condiciones, la secuencia de números aparecidos en la ruleta podría reproducir el desarrollo del fenómeno que querían estudiar. Llamaron a esta simulación Método de Montecarlo, en obvia alusión al casino de la Costa Azul.

Las aplicaciones del método de Montecarlo no se limitan a la física nuclear. Cualquier proceso aleatorio suficientemente complejo o costoso como para reproducirlo en forma real se puede simular mediante dispositivos que generen valores al azar, sean ruletas, dados o, más comúnmente, programas de computadora.

Un problema de sexos

Por ejemplo, si una pareja tiene cuatro hijos, ¿qué es más probable? ¿Que haya dos hijos de cada sexo o tres de un sexo y uno del otro? Hay muchas formas de responder a esta pregunta. Se puede hacer un cálculo, aplicando las leyes de probabilidad. Se puede hacer el recuento de todas las combinaciones posibles y ver cuál es la más frecuente. O se puede hacer un censo entre familias de cuatro hijos. Lo que no se puede hacer (o sería muy costoso y complicado) es resolverlo experimentalmente: contratar a un grupo grande de parejas para que tengan cuatro hijos y luego analizar los resultados. Pero sí se puede simular el proceso.

Para esto se necesita un dispositivo que genere al azar dos valores posibles que representen los dos sexos. Puede hacerse con una moneda: si tiramos cuatro monedas (o una misma moneda cuatro veces), la secuencia de caras y cecas puede equipararse a la secuencia de varones y mujeres.

Por ejemplo, tiramos las cuatro monedas y obtenemos una cara y tres cecas. Repetimos la experiencia y obtenemos dos caras y dos cecas. Continuamos así hasta completar veinte tiradas y obtenemos los siguientes resultados: todas caras (o todas cecas), cuatro veces; dos caras y dos cecas, cinco veces; tres caras y una ceca (o al revés), trece veces. Aunque los números no se corresponden exactamente con lo que predice el cálculo de probabilidades, el resultado de la simulación es esencialmente correcto: es más probable que haya tres mujeres y un varón (o al revés), que dos y dos.

El problema del estacionamiento

La simulación por el método de Montecarlo también se aplica a fenómenos donde entra en juego el comportamiento humano. Por ejemplo, si a un banco concurren veinte clientes por hora y cada uno se demora dos minutos en la ventanilla, parecería que nunca se formará una fila ya que el tiempo de atención es menor a la frecuencia de llegada de clientes. Sin embargo, podría ser que llegaran cinco clientes juntos en pocos minutos. En ese caso tendrán que esperar. Para saber el tiempo promedio de espera en la fila se puede recurrir a algún dispositivo aleatorio que simule la llegada de los clientes.

Otro ejemplo es el llamado “problema del estacionamiento”: si un auto necesita cinco metros para estacionar (incluyendo el espacio necesario para entrar y salir), ¿cuántos autos podrán estacionar en una calle de cien metros? La respuesta no es veinte autos (cien dividido cinco). Eso ocurriría si cada auto estacionara exactamente a continuación del anterior. Pero si algún auto se estacionara a tres metros de otro, quedaría un espacio desperdiciado que reduciría la cantidad de autos posibles.

Como cada auto llega y se acomoda donde puede o donde mejor le parece, éste es un fenómeno de características aleatorias y se puede simular por el método de Montecarlo. A falta de ruleta, como dispositivo aleatorio, se puede usar un libro que se abre al azar: las dos últimas cifras del número de página representarán la distancia a la que estaciona el auto, medida desde un extremo de la calle.

Por ejemplo, se abre el libro al azar en la página 315. Esto significa que el primer auto estaciona a 15 metros de la esquina. Repetimos la experiencia y esta vez el libro se abre en la Página/129. Es decir que el segundo auto se estaciona a 29 metros de la esquina. En la tercera experiencia abrimos el libro en la página 227. Este número representa un auto que pretende estacionar a 27 metros de la esquina, ocupando parte del espacio del anterior. Entonces simplemente se descarta este “auto”. Se siguen generando números al azar con el libro y se abre en las páginas 205, 139, 337, 193, 91, 321, 241, 109, 305, 273, 161, 281 y 250.

Si de estos números se descartan los que corresponden a posiciones ya ocupadas, los números restantes representan diez autos que estacionan. Además, quedan cinco espacios intermedios, suficientes para otros tantos autos. Se puede detener la simulación en este punto ya que un auto que llega y encuentra un espacio de cinco o más metros libres entre otros dos se estacionará ahí. En cualquier caso, la simulación indica que se pueden estacionar quince autos, que es justamente el número al que se llegaría tras un análisis estadístico más complejo.

Por supuesto, en las modernas simulaciones los números aleatorios no se obtienen con ruletas, dados ni libros sino con computadoras. Una computadora puede simular miles de experiencias en pocos segundos, con lo que los resultados resultan mucho más confiables.

La aguja de Buffon

En realidad, la idea de usar dispositivos aleatorios para resolver ciertos cálculos complejos es muy anterior a las experiencias de von Newmann y Ulam y se aplica a problemas que, en principio, parecen no tener que ver con el azar. Por ejemplo, para medir superficies irregulares. Se dibuja la superficie en una hoja cuadrada y se desparraman granos de arroz, uniformemente, sobre la hoja. La fracción de granos que caen dentro de la superficie es igual a la relación entre la superficie a medir y la del cuadrado.

Otro ejemplo muy curioso es el experimento llamado “la Aguja de Buffon”, propuesto por Georges Louis Leclerc, conde de Buffon, un matemático francés del siglo XVIII. Permite calcular el número p (la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro) dejando caer agujas sobre un piso de tablas. La separación entre las tablas debe ser igual al largo de la aguja. Se deja caer la aguja muchas veces. Cientos o miles de veces (este conde era un hombre con mucho tiempo libre). Se toma nota de cuántas veces la aguja cae cortando la separación entre dos tablas. Puede demostrarse teóricamente (y comprobarse empíricamente) que multiplicando por dos la cantidad veces que se deja caer la aguja, y dividiendo por la cantidad de veces que la aguja corta la separación entre dos tablas, se obtiene un número muy próximo a p.

El experimento de Buffon fue realizado en 1901 por un matemático italiano de apellido Lazzerini. Dejando caer la aguja más treinta de mil veces (otro a quien le sobraba el tiempo), Lazzerini obtuvo un valor de p de 3,1415929, que es exacto hasta la séptima cifra significativa (el último dígito debería ser un seis). El resultado es tan bueno que muchos desconfían de él: o Lazzerini tuvo mucha suerte o, simplemente, falseó los resultados.

Quienes no tengan tanto tiempo como Lazzerini o Buffon pueden encontrar en Internet muchos programas para realizar la simulación en una computadora. Por ejemplo, en www.efg2.com/Lab/Mathematics/Buffon.htm.

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