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–El enigma del reloj, en realidad, no es exactamente el mismo que el de Zenón –dijo el Comisario Inspector–, ya que en el caso del reloj, la persecución y encuentro de las manecillas son cíclicos y repetitivos. Los lectores lo han comprendido, y resolvieron el enigma. Damos la tabla de soluciones más abajo.
–Sin embargo –dijo Kuhn–, yo creo que deberíamos, por una vez, cumplir con nuestra promesa y hablar de las paradojas de Zenón.
–Lo admiro mucho a Zenón de Elea: se supone que nació en la colonia griega de Elea alrededor del 495 a.C. y fue discípulo de nuestro viejo y querido amigo, el gran Parménides de Elea. Como todo el mundo sabe, y como esta columna ha sostenido consecuentemente, para Parménides, el Ser era Uno e Inmóvil, y todos los procesos de cambio y movimiento eran simplemente una ilusión de los sentidos, un jugueteo del mundo sensible, que nada tiene que ver con la verdadera realidad subyacente.
–Esa es la razón de las paradojas –dijo Kuhn–. Naturalmente, Zenón sabía que en la realidad Aquiles alcanza a la tortuga, sólo quería mostrar que esa realidad empírica, el movimiento, era ininteligible y llevaba de manera natural a contradicciones lógicas.
–Pero primero recordemos la paradoja –dijo el Comisario Inspector–, tal como se cuenta en las charlas informales de la comisaría. Aquiles, el de los pies ligeros, corre más rápido que la tortuga. Pongamos que Aquiles corre al doble de velocidad que la tortuga.
–Esto sería, por ejemplo: Aquiles, 1 km por minuto, y la tortuga, medio km por minuto. Pero Aquiles le da ventaja –dijo Kuhn.
–Naturalmente –dijo el Comisario Inspector–. Todo el mundo sabe que le da ventaja: le da un km de ventaja, y se lanza la carrera. La pregunta es ¿cuándo alcanza Aquiles a la tortuga?
–Es obvio que no en el primer minuto –dijo Kuhn–, ya que, aunque Aquiles recorre el km que le dio de ventaja, en ese mismo minuto, la tortuga avanzó medio kilómetro, y está, en consecuencia, medio km adelante.
–Pero cuando Aquiles recorre ese 1/2 km, la tortuga, nuevamente, ha avanzado, un cuarto de km, y está otra vez adelante.
–Y cuando Aquiles recorre ese 1/4 km, la tortuga avanzó un octavo, y cuando Aquiles recorre ese octavo, la tortuga avanzó un dieciseisavo –completó Kuhn.
–Y así siguiendo. Siempre, cuando Aquiles recorre el espacio que lo separa de la tortuga –dijo el Comisario Inspector–, la tortuga, a su lento paso (la mitad que el de Aquiles) ha avanzado la mitad de ese espacio. El planteo del buen Zenón es fascinante porque tiene una virtud que yo llamaría literaria, y que es agarrar un problema en apariencia trivial y mostrar de repente, y con claridad, que en realidad es un misterio complejísimo. Digno de su maestro, el gran Parménides. Al fin y al cabo, todos sabemos que Aquiles efectivamente alcanza a la tortuga, pero la gran pregunta es: ¿cómo lo hace?, ¿cómo puede ser que lo haga? O dicho de otra manera, ¿cómo puede ser que la realidad, o la empiria, resuelva un problema a todas luces insoluble lógicamente?
–Bueno –dijo Kuhn–. Son las cosas que pasan por suponer que la realidad es lógica, o que los fenómenos tienen una explicación inherente. La verdad es que los fenómenos no tienen por qué tenerla, no tienen por qué tener una explicación lógica, o una explicación siquiera: simplemente, lo que nosotros hacemos (nosotros, las mentes pensantes) es recortarlo como nos parece (o incluso como nos gusta) y superponerles una explicación desde algunos parámetros, pero sólo eso: una explicación razonable desde algunos parámetros para algún recorte del fenómeno (y hasta me atrevería a agregar que el recorte del fenómeno se produce según los mismos parámetros que rigen la explicación).
–Eso sería ir muy lejos –dijo el Comisario Inspector–, es irrefutable, y no alcanza para comprender por qué esas explicaciones después funcionan para aclarar fenómenos completamente diversos, pero volvamos a Aquiles y la tortuga.
–Bueno –dijo Kuhn–, veamos qué explicación puede darse.
–En realidad –dijo el Comisario Inspector–, la explicación del fenómeno aparece con el análisis matemático en el siglo XVII, por obra y gracia de Newton y Leibniz. Veamos dónde está Aquiles, y dónde está la tortuga en cada uno de esos momentos.

t0 t1 t2 t3 t4 t5
Aquiles 0 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +...
Tortuga 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +...

Donde t0, t1, t2, etc., son los distintos pasos que hemos considerado. Ahora, justamente, éstas son sumas infinitas, que Zenón no podía hacer, pero Newton o Leibniz sí. La suma infinita:

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +...

Da exactamente uno (1) si yo sumo los infinitos términos. Y entonces, la suma de Aquiles es 2, y la de la tortuga es 1, más uno que tenía de ventaja, 2. Es decir, Aquiles alcanza a la tortuga cuando han recorrido dos kilómetros, esto es, a los dos minutos.
–Yo no sé si todo el mundo se convence –dijo Kuhn–. La idea de sumar infinitos términos es muy complicada.
–Veremos lo que dicen los lectores. Esta es la explicación, digamos, newtoniana de la paradoja de Zenón.
–Sí, es una explicación, lo admito, pero lo que no sé es si es una explicación convincente.
–Veremos qué dicen los lectores –dijo el Comisario Inspector–. Ahora, yo quería hacer un pequeño juego cuántico sobre Aquiles y la tortuga.
–Queda poco espacio –dijo Kuhn–. La verdad es que tomó más líneas de las calculadas.
–Bueno –dijo el Comisario Inspector–, dejamos el juego cuántico para la vez que viene y vamos a la solución del enigma del reloj. Estos son los momentos en los que las agujas se juntan a lo largo de 12 horas.

Hora	Minutos	Segundos
12.	00:	00
1.	05:	27 y 3/11
2.	10:	54 y 6/11
3.	16:	21 y 9/11
4.	21:	49 y 1/11
5.	27:	16 y 4/11
6.	32:	43 y 7/11
7.	38:	10 y 10/11
8.	43:	38 y 2/11
9.	49:	05 y 5/11
10.	54:	32 y 8/11

 

Ahora el enigma es: imaginemos que agregamos la aguja del segundero. ¿Cuándo se juntan las tres agujas?

¿Qué piensan nuestros lectores? ¿Cuándo se juntan las tres? ¿Y los convence la suma de una serie infinita?

Correo de lectores

Respuesta al enigma con reloj
Se puede resolver el enigma planteando una ecuación, donde las funciones indiquen:
a) la posición de Aquiles a una hora determinada, b) la posición de la tortuga a una hora determinada, para el intervalo entre la una y las dos en que se va a dar el próximo encuentro.
a) y = x (la aguja de la hora siempre se encuentra entre indicaciones con su número, es decir entre las tres y las cuatro la aguja está entre el número tres y el cuatro).
b) z = -12 + 12 x (a la una el minutero está en el 0 o 12, proyectando a las 0 hubiera estado en el -12; el segundo 12 surge de la razón entre máximo número señalado en el reloj y la cantidad de horas que transcurren en el intervalo dado).
En el momento del encuentro y = z,
por lo tanto x = -12 + 12 x
12 = 11 x; 12 : 11 = x
Entonces, Aquiles y la tortuga vuelven a coincidir en el siguiente horario: 1h 5 min 27 3/11 seg.
Juan Goldín