Página/12 :: Contratapa

La mayoría de los diarios del mundo (y numerosas revistas también) incluyen en sus respectivas ediciones crucigramas, acertijos, grillas para completar con palabras y números, entretenimientos de diversos tipos. Más recientemente se inauguró la era del Sudoku que involucra otro tipo de ideas. Es decir, históricamente, hacer las “palabras cruzadas” requiere de un conocimiento previo de los términos que se definen y después pelearse contra las palabras de dos letras (“dios egipcio: RA”, o “símbolo químico del sodio: NA”, por ejemplo) o de tres (“confundí en uno: UNI” o “desgracia: MAL”)... y así siguiendo. Sin embargo para resolver un Sudoku, más allá de los distintos grados de dificultd, no hace falta saber nada de antemano. Sólo hace falta pensar.

Pero lo que quiero proponerle hoy es algo para pensar durante unos días. Es poco probable que se le ocurra la solución en forma inmediata (salvo que ya hubiera enfrentado el problema en otra oportunidad). La ventaja es que uno puede seguir pensándolo durante mucho tiempo, encontrar soluciones parciales, discutirlas internamente y, una vez que lea el artículo, ni siquiera necesitará llevarse con usted el diario. Todo quedará almacenado en alguna parte de su cerebro.

Una aclaración: a pesar de que parece un problema de ajedrez, no lo es. En todo caso, solamente hay que saber dos cosas del juego:

a) Que se juega en un tablero de ajedrez de 8 por 8 casillas (64 en total), distribuidas alternadamente entre blancas y negras.

b) La reina, una de las piezas, la más importante después del rey, puede moverse libremente por el tablero, en forma diagonal, vertical u horizontal. La reina gobierna lo que sucede en la fila y columna que está ubicada, además de las dos diagonales (1) en las que está apoyada.

El problema que quiero plantear es el siguiente: haga de cuenta de que yo le doy ocho reinas (en lugar de una y sin importar el color) y le pido que trate de distribuirlas en el tablero de manera tal que ninguna de ellas pueda atacar a las restantes. Le anticipo que el problema tiene solución. Es decir: se puede. Pero queda algo pendiente: ¿cuántas configuraciones distintas se pueden encontrar?

Supongamos que usted encuentra alguna distribución posible, ¿qué sucedería si rotara el tablero 90 grados? La/lo invito a que piense qué pasaría. ¿Estaría encontrando una nueva solución?

Y ahora que le sugerí que se podría rotar 90 grados, ¿qué otros movimientos podría hacer usted si pretendiera encontrar nuevos resultados? ¿Qué pasaría por ejemplo si usted rotara el tablero 180 grados? ¿Y si lo rotara en 270?

Pero no quiero terminar acá. Y si usted hiciera reflejar en un espejo una solución, ¿encontraría otra? ¿Será alguna de las anteriores? Y si rotara la nueva, ¿qué obtendría? ¿Cuántos resultados esencialmente distintos se pueden encontrar rotando y reflejando en un espejo?

Todas estas operaciones, rotaciones y reflexiones, los matemáticos las llamamos operaciones de simetría.

Por último, la/lo invito a pensar lo siguiente: haga de cuenta de que usted encontró dos soluciones que en apariencia son distintas, pero que empezando en una de ellas y tras rotarla y reflejarla en un espejo usted pudiera llega hasta la otra: ¿se podrán considerar realmente distintas? En esencia, son la misma solución.

Y eso es lo que me permite entonces agregar una nueva pregunta: ¿cuántas soluciones genuinamente diferentes hay? (2)

Como usted advierte, a diferencia de lo que sucede con crucigramas y sudokus, este problema lo va a tener entretenido unos días. Al menos, eso fue lo que me pasó a mí. Estuve varias semanas (por no decir meses) tratando de buscar todas las soluciones genuinamente distintas.

Si le sirve, como dato final, le cuento que se sabe que hay solamente 12 soluciones primitivas (o genuinas), en el sentido de que son esencialmente diferentes, y son las que ilustran esta página. En total, aceptando reflexiones y/o rotaciones, se pueden obtener 92.

No se conoce ningún método que provea todas las soluciones, salvo el que consiste en ir consiguiéndolas de a una (3).

Como usted advierte, después de haber llegado hasta acá, ni siquiera necesita llevarse el diario con usted para poder pensar la solución. Eso sí: no quiero terminar sin decir que todo esto, aunque no lo parezca, también es matemática.

Notas:

(1) Salvo que esté en una de las esquinas, en cuyo caso sólo hay una diagonal asociada pero, en general, en cualquier otra parte del tablero que no sea las cuatro esquinas, cada casilla es parte de dos diagonales.

(2) Hay mucha literatura escrita para este problema. En Internet, hay algunos sitios atractivos: http://en.wikipedia.org/wiki/Eight_queens_puzzle http://bridges.canterbury.ac.nz/features/eight.html

(3) El problema de las ocho reinas fue planteado a fines del siglo XIX por Max Bezzel, un ajedrecista de la época y fue abordado por muchísimos matemáticos, entre otros Gauss, Gunther y Glaisher. Pero este dato último es sólo para ponerlo en contexto y darle el crédito a quien le corresponde.

Ocho reinas