futuro

Sábado, 26 de julio de 2014

EL MUNDO MáGICO DE ALICIA, UNA VEZ MáS, COMPLICA LAS COSAS

Izquierda y derecha

Donde se resuelve una paradoja que, a lo largo de los siglos, sigue confundiendo a matemáticos, filósofos y personas curiosas: ¿por qué los espejos invierten derecha con izquierda pero no arriba con abajo?

 Por Claudio H. Sánchez

En A través del espejo, Alicia dice que en la casa del espejo las cosas “van para el otro lado”. Por ejemplo, si Alicia sostiene una manzana en la mano derecha, su imagen en el espejo la sostiene en la izquierda. Por otra parte, si Alicia está parada normalmente (los pies abajo y la cabeza arriba), su imagen también lo está. ¿Por qué el espejo invierte derecha con izquierda pero no arriba con abajo?

Se trata de una pregunta simple, directa y fácil de entender. Sin embargo, su respuesta no resulta igual de fácil. Una búsqueda en Google arrojará decenas de respuestas a esta cuestión. En su mayoría, confusas o directamente incorrectas.

En realidad, la inversión que produce un espejo plano no es exactamente entre izquierda y derecha, aunque a nosotros nos resulte cómodo describirla de esa manera. Para entender el porqué, imaginemos una habitación cuadrada y orientada según los puntos cardinales. En la pared norte hay un espejo y Alicia está parada frente a él, con el brazo derecho extendido hacia el Este.

Alicia está cabeza arriba, su imagen está cabeza arriba. Su brazo apunta al Este; el de su imagen apunta al Este. Pero, mientras ella mira hacia el Norte, su imagen mira hacia el Sur.

Si Alicia estuviera de lado, con el brazo derecho señalando hacia el espejo, ella y su imagen estarían cabeza arriba. Ella y su imagen mirarían hacia el Oeste. Pero su brazo señalaría hacia el Norte, mientras que el de la imagen señalaría hacia el Sur.

Y si el espejo estuviera en el techo, Alicia y su imagen mirarían en la misma dirección. Y lo mismo pasaría con sus respectivos brazos extendidos hacia un lado. Pero mientras Alicia estaría parada normalmente sobre sus pies, su imagen estaría cabeza abajo.

Dicho de otra manera, hay tres direcciones en el espacio: arriba-abajo, adelante-atrás y derecha-izquierda. De estas tres direcciones, el espejo siempre invierte la dirección que sea perpendicular a su superficie. Cuando decimos que Alicia sostiene una manzana en la mano derecha, mientras que su imagen en el espejo la sostiene en la izquierda, es porque las imaginamos a una junto a la otra, las dos sobre sus pies y mirando para el mismo lado. Al alinear las direcciones adelante-atrás y arriba-abajo, necesariamente queda invertida la dirección derecha-izquierda. De modo que la pregunta pertinente no es ¿por qué los espejos invierten derecha con izquierda pero no arriba con abajo? Sino ¿por qué alineamos un objeto con su imagen de modo de dejar desalineado el eje derecha-izquierda?

Esto ocurre porque nuestros cuerpos son bastante simétricos lateralmente: nuestra mitad izquierda es aproximadamente igual a nuestra mitad derecha. En cambio, nuestra mitad superior es bien distinta de la mitad inferior y nuestra mitad frontal es bien distinta de la mitad posterior. Y esto, a su vez, se debe a que nuestro entorno presenta esa misma simetría: la gravedad marca una diferencia entre arriba y abajo y nuestros ojos y nuestro andar marcan una diferencia entre adelante y atrás. Pero no hay ninguna característica de la naturaleza que marque una diferencia importante entre izquierda y derecha. Nuestros cuerpos resultan simétricos respecto del eje izquierda-derecha porque evolucionaron alrededor de esa misma simetría del entorno.

Por eso, al comparar nuestro cuerpo con su imagen en el espejo, tendemos a alinear las direcciones cuyos lados son claramente distintos y dejamos desalineada la que tiene lados aproximadamente iguales. En este caso, la dirección izquierda-derecha. Podemos entender la diferencia si comparamos con su imagen en el espejo un objeto que no presente simetría en ninguno de sus tres ejes. Por ejemplo, un dado.

Aunque un dado cúbico es simétrico respecto de las tres direcciones del espacio, la disposición de los números en sus caras no sigue ninguna simetría. Si miramos un dado normal, con el seis al frente y el uno atrás, con el tres a la derecha y el cuatro a la izquierda, el cinco estará arriba y el dos abajo. Su imagen en el espejo puede describirse intercambiando los números de cualquiera en la oración anterior: el seis con el uno, el tres con el cuatro o el cinco con el dos. No tendríamos ninguna razón especial para describir la inversión diciendo que “la cara izquierda pasó a la derecha”. Igualmente podemos decir que “la cara superior pasó abajo” o que “la cara frontal pasó atrás”. Lo único que podríamos decir sin ambigüedades es que las caras estarían numeradas al revés. O, como diría Alicia, “para el otro lado”.

La disposición de los números en las caras de un dado no tiene ninguna simetría que privilegie una dirección por sobre las demás. Nosotros sí la tenemos y por eso nos resulta más cómodo pensar que los espejos invierten la izquierda con la derecha. Pero ya vemos que no es necesariamente así.

La disposición de los números en las caras de un dado no tiene ninguna simetría que privilegie una dirección por sobre las demás.

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Una explicación de por qué en el espejo de Alicia las cosas van hacia otro lado.
 
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