futuro

Sábado, 8 de noviembre de 2008

CONTINGENCIAS MATEMATICAS

Gulliver en el país de los números

Puede que en el siglo XVII, el gran Galileo Galilei no cayera en la cuenta de la magnitud de su ley Cuadrado-Cúbica, proposición matemática que aportó variadas soluciones a los problemas más complejos y diversos. “El hombre no se mide por su altura sino por el tamaño de sus acciones.” Al astrónomo italiano esta frase le cae como anillo al dedo.

 Por Claudio H. Sánchez

En su primer viaje, Gulliver visita Liliputt, el país poblado por hombrecitos doce veces más pequeños que lo normal. Tan chicos que, para ellos, Gulliver representa “El Hombre Montaña”. En uno de los capítulos, el rey de Liliputt dicta una ordenanza que regula la alimentación de Gulliver: “El Hombre Montaña tendrá un suministro diario de comida y bebida equivalente al de 1728 de nuestros súbditos”. ¿Por qué ese número, justamente?

Podemos imaginar la ración de un liliputiense contenida en una caja rectangular. Si Gulliver es doce veces más grande, la caja que contenga su ración será doce veces más alta, doce veces más larga y doce veces más ancha. Eso hace que tenga una capacidad 12 x 12 x 12 = 1728 veces mayor, como prevé el decreto real.

Curiosamente, en un pasaje anterior Gulliver recibe seiscientos colchones liliputienses para que se acomode a dormir. Pero seiscientos colchones es muy poco: apenas le alcanzan para hacerse una cama doce veces más larga y doce veces más ancha que una local, pero solamente cuatro veces más alta.

Esa cama le resultaría demasiado delgada e incómoda a Gulliver. Si el rey sabe que Gulliver necesita mil setecientas veintiocho raciones para comer, ¿por qué cree que le alcanzan seiscientos colchones para dormir cómodamente?

DIMENSIONES ANIMALES

En realidad, si suponemos que los liliputienses tienen las mismas proporciones que una persona normal y que su metabolismo también es proporcional, Gulliver podría arreglarse con mucho menos de mil setecientas veintiocho raciones. Ocurre que el alimento que ingerimos los mamíferos se usa, en su mayor parte, para generar el calor que nos permite vivir y que continuamente se escapa por la piel.

Por supuesto, Gulliver tiene mucha más piel que un liliputiense y por eso necesita comer más para mantenerse caliente. Pero, aunque pesa 1728 veces más, la superficie de su cuerpo es solamente 144 (doce por doce) veces mayor que la de un liliputiense.

Por ejemplo, entre los animales de sangre caliente, uno de los más pequeños es el colibrí. Pesa apenas 20 gramos y consume unas 10 kilocalorías por día. Una persona normal pesa unas 3500 veces más que un colibrí, pero consume 2500 kilocalorías diarias, solamente 250 veces más. Si el colibrí tuviera que arreglarse con una dieta proporcional a su peso, respecto de una persona, se moriría de frío.

Para entender mejor cómo funciona esto, imaginemos por un momento que los liliputienses son seres cúbicos de diez centímetros de lado. La superficie de cada una de sus caras será de cien centímetros cuadrados. Si Gulliver es doce veces más alto, será un cubo de 120 centímetros de lado, cada una de cuyas caras tendrá 120 x 120 = 14.400 centímetros cuadrados. Efectivamente, este valor es 144 veces mayor al que le corresponde a un liliputiense.

LA LEY QUE TODO LO RESUELVE

Se podrá objetar que ni Gulliver ni los liliputienses son cubos, sino figuras más complejas. No importa: si ambos tienen la misma forma (forma humana, en este caso), a una relación de uno a doce para la altura le corresponderá una relación de 1 a 144 para la superficie (y 1 a 1728 para el peso).

En general, para dos cuerpos de la misma forma, si las alturas se relacionan a través de un factor N, las respectivas superficies se relacionarán en un factor N x N (o N al cuadrado) y los volúmenes en un factor N x N x N (N al cubo). Esto se llama ley Cuadrado-Cúbica y fue enunciada por Galileo Galilei en el siglo XVII.

La ley Cuadrado-Cúbica aparece continuamente en muchos problemas relacionados con la biología o la ingeniería, cada vez que se considera una magnitud que depende del volumen (y que varía según el cubo de las longitudes) o de la superficie (que varía según el cuadrado). Como en el problema de Gulliver y su alimentación.

Otro caso tiene que ver con la fuerza de enanos y gigantes. Por ejemplo, una pulga puede saltar una longitud varias veces superior a la de su cuerpo y llevar una carga varias veces superior a su peso. Parecería que una pulga del tamaño de un perro podría saltar varios metros llevando una carga de cientos de kilos. Pero el peso de la pulga depende de su volumen mientras que la fuerza que puede desarrollar depende de la superficie transversal de sus músculos.

De modo que, si vamos duplicando sucesivamente el tamaño de la pulga, su peso aumenta ocho veces (dos al cubo) en cada paso mientras que su fuerza solamente aumenta al cuádruple (dos al cuadrado). Llegará un momento en la pulga será incapaz de sostenerse a sí misma. El mismo Galileo explica este caso en uno de sus Diálogos: “Pienso que un perro pequeño podría llevar sobre sí dos o tres perros iguales a él, mientras que no creo que un caballo pudiese sostener ni siquiera un caballo de sus mismas medidas”.

INCONSISTENCIAS MATEMATICAS

Como es fácil suponer, la ley Cuadrado-Cúbica se presenta muchas veces a lo largo de los viajes de Gulliver. En su segundo viaje, Gulliver visita Brobdignac, el país de los gigantes. Ahí la gente mide doce veces más que una persona normal. Gulliver nos cuenta cómo toca una especie de piano, con teclas tan duras que las debe golpear con unos garrotes.

Lo que el autor no tiene en cuenta (o no tiene ganas) es que un instrumento así, con cuerdas doce veces más largas y doce veces más gruesas, sonaría demasiado grave para los oídos de Gulliver. Al revés, sus cuerdas vocales emitirían un sonido demasiado agudo para los gigantescos tímpanos de los habitantes de Brobdignac.

Otro problema que la ley Cuadrado-Cúbica presenta a los gigantes es el de la respiración: la cantidad de sangre que circula por un organismo gigante depende de su volumen, pero la capacidad de oxigenar esa sangre depende de la superficie de sus pulmones. Los habitantes de Brobdignac tienen 1728 veces más sangre, pero solamente 144 veces más capacidad de oxigenación. En esas condiciones, se asfixiarían irremediablemente.

VOLANDO CON NUMEROS

La ley Cuadrado-Cúbica aparece también en ingeniería: lo que Galileo aplica a perros y caballos se puede aplicar a cualquier estructura. El peso de una columna crece con el cubo de su altura y su diámetro mientras que su resistencia crece más lentamente, con el cuadrado. Puede decirse que la ley es una carrera entre el dos y el tres. Esto también explica por qué las montañas son relativamente pequeñas: apenas sobresalen de la superficie terrestre. Una montaña de decenas de kilómetros de altura se derrumbaría bajo su propio peso.

La ley Cuadrado-Cúbica rige solamente cuando se mantienen las proporciones y los materiales. A principios del siglo XX, el astrónomo canadiense Simón Newcomb predijo la imposibilidad de volar con máquinas más pesadas que el aire. El peso de una máquina depende de su volumen mientras que su capacidad de volar depende de la superficie de sus alas. Lo primero varía con el cubo de las dimensiones lineales mientras que lo segundo varía con el cuadrado.

Newcomb calculaba que una máquina suficientemente grande como para llevar a una persona a bordo pesaría demasiado en relación con su capacidad de sustentación. No tuvo en cuenta que las alas podrían hacerse comparativamente más grandes, sus materiales comparativamente más livianos y su motor comparativamente más potente. Todo eso permite eludir las limitaciones de la ley Cuadrado-Cúbica. Newcomb murió en 1909, a tiempo para ver volar a los hermanos Wright.

LA LEY CUADRADO-CUBICA Y LAS CAJAS DE FOSFOROS

La ley Cuadrado-Cúbica debe tenerse en cuenta a la hora de diseñar una caja de fósforos. Dadas dos cajas de iguales proporciones, la cantidad de fósforos depende del cubo de las longitudes y la superficie del raspador depende del cuadrado. De mantenerse las proporciones, el raspador de una caja grande tendría poca superficie y se gastaría antes de encender todos los fósforos. Y efectivamente, las cajas chicas tienen raspador de un solo lado, pero las grandes deben tenerlo en dos.

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Imagen: Victoria and Albert Museum (Inglaterra)
 
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