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Sábado, 6 de diciembre de 2008

FISICA: RESISTENCIA Y TRACCION

El arco catenario

El efecto de la catenaria, una curva que se dibuja cuando sostenemos una cadena sin tirar de sus extremos, funcionó como herramienta conceptual para la construcción de puentes, represas, y ha sido la más bella inspiración de la arquitectura desplegada por Antonio Gaudí en su Cataluña natal.

 Por Claudio H. Sánchez

Si tomamos una cadena y la disponemos verticalmente, colgando de su extremo superior, su propio peso la pone tirante y la cadena se sostiene. En cambio, si pretendemos tomarla de su extremo inferior, la cadena se cae. Esto es fácil de entender: podemos colgar algo de una cadena, pero no podemos apoyar algo en una cadena. Un ingeniero lo diría así: una cadena puede soportar esfuerzos de tracción, pero no de compresión.

Desde este punto de vista, lo contrario de una cadena, la estructura que puede soportar esfuerzos de compresión pero no de tracción, es una pila de bloques: podemos apoyar un peso sobre una pila de bloques (una pila de ladrillos, por ejemplo) y el peso y la pila se sostendrán. Pero, si pretendemos alzar la pila tomándola de su extremo superior, solamente levantaremos el primer bloque, quedando en su lugar los demás.

Esta simetría entre la cadena y la pila de bloques tiene mucha importancia en la ingeniería. Una estructura cualquiera (un puente, por ejemplo) puede sostenerse tanto colgada de cadenas (o cables) como apoyada sobre pilares.

La catenaria

La relación entre los comportamientos de cadenas y pilares es fácil de entender cuando pensamos en estructuras verticales. Pero también funciona en otros casos. Sostengamos una cadena horizontalmente, tomándola por sus extremos, pero sin tensarla. La cadena quedará colgando formando una línea curva llamada, justamente, catenaria. Es la misma figura que forman los cables del telégrafo, la cuerda de colgar la ropa o cualquier otra estructura similar.

Matemáticamente, la catenaria es lo suficientemente rara como para haber confundido nada menos que a Galileo Galilei. En su Diálogo sobre dos nuevas ciencias, Galileo describe algunos métodos para obtener una parábola. Leemos: Sujétense dos clavos en una pared a una altura convenida y a un mismo nivel [...]. Colguemos de estos dos clavos una cadena muy fina [...]. Esta cadena se incurva formando una parábola.

Pero Galileo se equivocaba. La curva formada en este caso, la catenaria, no tiene nada que ver con la parábola, aunque se le aproxima bastante. Unos cincuenta años después de la muerte de Galileo, mientras el matemático suizo Jakob Bernoulli trataba de confirmar la conjetura de que la catenaria era una parábola, su hermano Johann encontró la verdadera ecuación. Se llama “coseno hiperbólico” y tiene que ver con funciones conocidas como exponenciales (este descubrimiento inició una larga rivalidad entre ambos Bernoulli).

Así como una cadena colgada de un extremo se pone vertical porque sólo así está en condiciones de soportar los esfuerzos de tracción, cuando la colgamos de dos puntos también se acomoda de forma tal que los eslabones quedan sometidos a esfuerzos de tracción. A lo largo de la catenaria los eslabones tiran unos de otros (no pueden hacer otra cosa) y la estructura se mantiene estable. Así es como se sostienen, por ejemplo, los puentes colgantes.

El arco catenario

Tal como ocurre con la cadena, es posible curvar una pila de bloques en forma de arco, de manera que se apoye por ambos extremos, mientras que la parte central queda en el aire. En estas condiciones los bloques se aprietan unos contra otros (como cuando la pila está vertical) y la estructura se mantiene estable, aunque no haya ninguna argamasa que una los bloques. De hecho, cuanto más carguemos el arco, más apretados se mantienen los bloques. Aunque cualquier arco curvo funciona en este sentido, la estructura ideal tiene forma de catenaria, pero invertida, con su parte cóncava hacia abajo.

Esta propiedad del arco catenario se conoce desde tiempos muy antiguos. Se cree que fue descubierta (seguramente, por prueba y error) por los babilonios. También los romanos recurrieron al arco en muchas de sus construcciones, aunque adoptaron formas más simples, basadas en la circunferencia. Y todavía se mantienen, como en el Panteón o en el acueducto de Segovia.

Mucho más cerca en el tiempo, el catalán Antoni Gaudí estudió las propiedades del arco catenario. Para definir la forma que debían tener las vigas que sostendrían la bóveda de la Colonia Güell, construyó modelos formados por hilos colgantes, cargados con pesos de manera análoga a los que debía soportar la bóveda. La curva formada por los hilos, pero invertida, era la que debían tener los arcos.

Aún hoy, podemos ver ladrillos dispuestos en forma de arco (catenario o no) en algunas ventanas y otras aberturas. Por supuesto que en esos casos se usa alguna argamasa para contribuir a la solidez de la estructura. Pero, igualmente, la disposición en forma de arco invertido asegura una cuota importante de estabilidad. El mismo principio se aplica en todos los casos en que es necesario salvar una gran abertura o luz en una construcción. En las cúpulas, las naves industriales y los andenes de las grandes estaciones ferroviarias se recurre a formas basadas en el arco, porque es la manera más sencilla de lograr estabilidad y reducir así el peligro de falla.

Esto también se emplea en las represas, que no presentan un frente plano a la masa de agua que deben contener, sino que es curvado, con la parte convexa hacia el agua. De esta forma el dique ofrece a la presión del agua más resistencia que una simple pared plana. Uno de los ejemplos más espectaculares del uso del arco catenario en la arquitectura es el gran Gateway Arch en la ciudad de Saint Louis, Missouri. Mide unos doscientos metros de altura y otros doscientos metros de ancho en su base. Tiene inscripta la fórmula de la catenaria en su interior.

El arco en la naturaleza

La catenaria se mantiene estable cuando cuelga. Pero si la levantamos por su punto medio, inmediatamente pierde su forma. Exactamente lo contrario ocurre con el arco catenario: puede soportar una carga importante, que lo oprima hacia abajo. Pero, si lo empujamos hacia arriba, es relativamente fácil de romper.

Esto es exactamente lo que sucede con un huevo de ave. Por ejemplo, un huevo de gallina es muy difícil de romper si se lo aprieta con ambas manos, en sentido longitudinal. También puede soportar el peso de la gallina durante la incubación. Pero, al mismo tiempo, debe romperse fácilmente cuando el pollito actúa desde dentro.

Por supuesto que aquí intervienen otros factores. No solamente importa la dirección del esfuerzo sino la forma en que se distribuye: el peso de la gallina se reparte en una gran superficie, mientras que el pollito concentra el esfuerzo golpeando con su pico, en un punto reducido. De todas maneras, la forma del huevo tiene una influencia decisiva en la doble función de ser resistente desde afuera y vulnerable desde adentro.

“SI SOSTENEMOS UNA CADENA SIN TIRAR DE SUS EXTREMOS, FORMA UNA CATENARIA”.
Imagen: Curso Interactivo de Física en Internet.
Ángel Franco García

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EL ARCO DE SAINT LOUIS, ESTADOS UNIDOS, FORMA LA FIGURA DE UNA CATENARIA INVERTIDA.
Imagen: Washington University, St. Louis (EE. UU.)
 
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