futuro

Sábado, 27 de diciembre de 2008

MATEMATICAS: SOBRE LOS NUMEROS PRIMOS

Soy tu primo

Según el escritor y humorista español Enrique Jardiel Poncela, los números primos son “números con cara de idiotas”. En realidad, son aquellos que no se pueden obtener multiplicando dos o más números más chicos que ellos. Siempre fascinaron a los matemáticos, que dedicaron grandes esfuerzos a investigar sus propiedades.

 Por Claudio H. Sánchez

El número 10 no es primo porque se puede formar multiplicando 2 x 5. El 12 tampoco porque se obtiene haciendo 2 x 2 x 3. En cambio, el 11 sí es primo porque no se pueden tomar dos o más números menores que 11 y multiplicarlos entre sí para obtener 11. Otra forma de definir un número primo es decir que no son divisibles por otro menor que él, exceptuando al uno. Por ejemplo, el 6 no es primo porque es divisible por 2 (y por 3). El 7 sí es primo porque no es divisible por 2 ni por 3 ni por 4 ni por 5 ni por 6.

Ya en la antigua Grecia, Euclides demostró que hay infinitos números primos. En el siglo XVIII el suizo Leonard Euler construyó la “fórmula 40” que genera números primos para cada valor de n, de 1 hasta 40. Lamentablemente, la fórmula falla cuando n=41.

PRIMOS DE MERSENNE

Otra fórmula interesante fue propuesta en el siglo XVII por el filósofo, teólogo y matemático francés Marin Mersenne: 2n -1. Esta fórmula daría números primos cuando el exponente n también es primo. Por ejemplo: 22 -1= 3 es primo; 23 -1= 7 es primo y lo mismo vale para 25 -1= 31 y 27 -1= 127. Pero 211 -1= 2047 no es primo porque es igual a 23 por 89. Cuando la fórmula sí da un primo, el número resultante se llama Primo de Mersenne. Hasta el momento, nadie ha podido encontrar una fórmula generadora de números primos.

A LA CAZA DE LOS NUMEROS PRIMOS

Sin computadoras, la búsqueda de números primos avanzó lentamente. En 1907, en su libro Los acertijos de Canterbury, el inglés Henry Dudeney decía que “nadie en este mundo sabe aún si el número formado por diecinueve unos tiene un divisor o no. La persona que lo encuentre habrá realizado algo que nadie ha conseguido”. Hoy sabemos que el número 1.111.111.111.111.111.111 efectivamente es primo y que, por lo tanto, no tiene divisores.

Durante muchos años, la investigación sobre números primos fue el símbolo de las “matemáticas inútiles”, de cómo los matemáticos perdían el tiempo investigando cosas sin ninguna aplicación práctica. Pero todo llega y ahora resulta que la búsqueda de grandes números primos tiene interés en seguridad informática ya que se usan para algoritmos de encriptación. Estos sistemas se basan en dos claves, una pública para encriptar y otra privada para desencriptar. Aunque las dos claves están basadas en un mismo par de números primos, conocer la clave pública no permite conocer fácilmente la clave privada. Ocurre que, dados dos números primos, es fácil multiplicarlos para calcular su producto. Pero si solamente conocemos el producto, calcular los dos primos originales exige hacer millones de divisiones, si los primos tienen unas cuantas decenas de dígitos. De modo que el método de encriptación es tanto más seguro cuanto más grandes sean los números primos usados para generar las claves.

NUMEROS MUY PERO MUY GRANDES

Encontrar grandes números primos es cuestión de fuerza bruta: hay que tomar un número y buscar si hay algún número menor que él que lo divide exactamente, sin dejar resto. Cuando se buscan números primos de miles de dígitos, hacer todas las divisiones puede llevar años, aun con las computadoras más poderosas que existen. Cuando en 1963 las computadoras de la Universidad de Illinois calcularon el vigésimo tercer primo de Mersenne, de más de tres mil dígitos, el descubrimiento pareció tan notable que la oficina de correos del lugar anunció el hecho en su matasellos.

USTED PUEDE DAR UNA AYUDITA

Una forma de hacer las divisiones en un tiempo razonable consiste en usar miles de computadoras, cada una realizando una pequeña parte del trabajo total. Esta técnica se llama computación distribuida. Es una idea muy simple, pero que solamente pudo realizarse eficazmente gracias a Internet, que comunica a todas las computadoras que participan de la búsqueda.

Un proyecto de computación distribuida referido a números primos es GIMPS: Great Internet Mersenne Primes Search. O sea, “gran búsqueda de primos de Mersenne por Internet”. Entrando a www.mersenne.org es posible bajar un programa que, como un protector de pantalla, se activa cuando la computadora está encendida, pero sin trabajar. El programa recibe vía Internet un número de Mersenne y un rango de posibles divisores. Cuando se activa, comienza a probar los divisores. Si encuentra alguno que divide exactamente al número dado, se comunica con el servidor y solicita un nuevo número de Mersenne. Si no lo encuentra, recibe el siguiente rango de posibles divisores. Así miles de usuarios prestan tiempo ocioso de sus computadoras para la búsqueda.

Gracias al GIMPS, entre 1996 y 2006 se descubrieron nueve nuevos primos de Mersenne. El último fue 2325826571, un número de más de nueve millones de dígitos. Actualmente, la Electronic Frontier Foundation ofrece un premio de cien mil dólares a quien descubra un primo de Mersenne de más de diez millones de cifras. Estamos muy cerca. ¿Qué espera para bajarse el programa y poner su PC a trabajar?

LAS MODERNAS “TOMAS DE CALCULO”

En 1965, en un artículo sobre el “futuro” de la computación, la revista francesa Planeta introducía el concepto de “toma de cálculo”: cada empresa, cada laboratorio, numerosos departamentos dispondrán de una toma de cálculo, es decir de un teléfono o de una máquina de escribir que servirá para hacer preguntas a la que responderán conjuntos instalados a gran distancia. En 1965 no se concibe un laboratorio sin toma de corriente eléctrica. Pronto no se concebirá un laboratorio sin toma de cálculo.

La idea es que así como en la pared tenemos tomacorrientes donde podemos obtener energía de la red eléctrica, en el futuro tendríamos otro tipo de “toma” para obtener “capacidad de cálculo” de una red de computación. Como si fuera un servicio público más, el uso de esa red se facturaría a los usuarios según el tiempo de conexión:

Las redes facturarán automáticamente el número de horas de cálculo como los aparatos que facturan ahora el kilowatt-hora o el metro cúbico de gas.

Esta idea de la toma de cálculo se parece bastante a lo que es hoy Internet. En cierta forma, nuestra conexión a Internet (en cualquiera de sus formas) es como un “toma” donde obtenemos recursos de la red. Y, con los proyectos de computación distribuida, ahora es posible ofrecer capacidad de cálculo. La “toma de cálculo” terminó mordiéndose la cola.

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