futuro

Sábado, 8 de julio de 2006

FINAL DE JUEGO

Donde se da la solución al problema del Libro de arena y el Comisario Inspector sigue con sus dudas

 Por Leonardo Moledo

–Bueno –dijo el Comisario Inspector– vamos a dar la solución al problema del Libro de arena, y a otra cosa. Es que cuando uno opera con los infinitos, cuando uno se mete en los dominios de Georg Cantor, ese paraíso, como dijo Hilbert, que Cantor brindó a las matemáticas y del cual no hay por qué salir, la intuición se tuerce, y las cosas se transforman en algo raro, como esos seres voladores, a medias reptiles y a medias aves, como esas novelas que parecen cuentos, o esas obras de teatro que parecen novelas, o esos jarrones que parecen barcos, o...

–Me parece –dijo Kuhn– que estamos exagerando. No resulta correcto decir que los infinitos de Cantor son pterodáctilos.

–No lo son, no lo son –dijo el Comisario Inspector– aunque cuando Cantor habló de ellos a muchos les parecieron algo más extraño que los pterodáctilos.

–Bueno, pero en fin... –dijo Kuhn–. ¿Si volvemos al Libro de arena? ¿Cuántas páginas tiene?

–Bueno –dijo el Comisario Inspector– el Libro de arena tiene infinitas páginas. En eso estamos de acuerdo. El problema es saber si es el infinito de los números naturales, o el infinito de los números reales.

–¿La respuesta?

–Es que puede ser el infinito de los números naturales...

–¿Puede ser? –dijo Kuhn.

–Y puede ser el infinito de los números reales. Porque no se trata de un problema de cantidad sino de densidad. Trataré de explicarlo. Imaginemos el intervalo 0,1 en la recta. Los números racionales, o las potencias de 1/2, son lo que se llama densos; esto es, en un entorno cualquiera de uno de ellos hay infinitos, que es exactamente lo que ocurre con las páginas del Libro de arena. Cualquier conjunto denso sirve, y para el caso, tanto los números racionales, como los números irracionales (que también son densos en la recta) sirven. Así pues, no sabemos cuántas páginas tiene el Libro de arena.

¿Qué piensan nuestros lectores? ¿Están de acuerdo con las dudas del Comisario Inspector?

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