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Mi objetivo con el problema que sigue es tratar de sorprenderlo. No sé si lo voy a lograr, pero lo voy a intentar. Es un problema muy sencillo y a la vez entretenido. Puede que la solución se le ocurra muy rápido y, en ese caso, habré fracasado en el intento, a tal punto que usted pensará: “¿Esta pavada?”

Pero podría ser que no, y que a usted le suceda lo que a la abrumadora mayoría de las personas a quienes les propuse pensar el problema: estuvieron un rato confundidos, buscando el error. Vale la pena entonces que yo corra el riesgo de que le resulte muy fácil, pero prefiero que así sea porque en el peor de los casos le servirá para entretenerse un rato.

Acá voy. Suponga que hace un mes usted tenía mil pesos en una cuenta bancaria. A lo largo de los últimos 30 días fue haciendo diversos retiros. Para fijar las ideas, digamos que hizo –en total– seis extracciones, todas en efectivo.

Fíjese ahora en las dos listas que figuran acá abajo.

Por un lado, en la columna de la izquierda, figurará el monto que usted fue retirando en cada operación. Por el otro, en la segunda lista, aparecerá el saldo que le fue quedando en la cuenta luego de haber retirado la cantidad de dinero que figura en la columna de la izquierda. Recuerde que, antes del primer retiro, en la cuenta había mil pesos. Este es el sumario.

Extracción	Saldo	Restante
Primer retiro	$500	$500
Segundo retiro	$250	$250
Tercero	$100	$150
Cuarta extracción	$80	$70
Quinto retiro	$50	$20
Sexto (y último)	$20	$0

Fíjese qué sucede si usted suma las dos columnas (haga la cuenta por favor): la columna de la izquierda suma $1000 (mil pesos).

Ahora sume la segunda. Esta vez el resultado es de $ 990.

Parece que hay algo que no funciona bien: ¿dónde están los 10 pesos que faltan?

El problema entonces consiste en tratar de entender qué pasó: ¿por qué las dos columnas no suman lo mismo? ¿No debería dar mil pesos en los dos casos?

Ahora le toca a usted. Eso sí: me permito sugerirle que no lea la respuesta muy rápido. La única gracia que tiene este tipo de problemas es poder pensarlo en soledad o, en todo caso, con alguna persona que ignore la solución como usted. De cualquier forma, la solución la puede encontrar acá abajo.

Respuesta

Hace más de seis años, en la contratapa del 17 de abril del año 2007, escribí en Página/12 un problema parecido. Se llamaba “Tres Personas en un Bar” (1).

Antes de escribir la solución, quiero ofrecer acá otro ejemplo que –creo– le permitirá descubrir que en el problema original hay un error en el planteo y, en verdad, no faltan diez pesos. O mejor dicho, le servirá para advertir que ni siquiera tiene sentido sumar los números que figuran en ambas columnas y luego compararlos. Sígame por este camino.

Suponga que en lugar de hacer las seis extracciones como planteé más arriba, usted hubiera hecho diez retiros de $100 cada uno. Al cabo de la décima vez que usted extrae cien pesos, ya no queda nada en la cuenta. Las columnas quedarían así:

Extracción	Saldo
1) $100	$900
2) $100	$800
3) $100	$700
4) $100	$600
5) $100	$500
6) $100	$400
7) $100	$300
8) $100	$200
9) $100	$100
10) $100	$0

Si ahora usted suma las dos columnas, la de la izquierda resulta dar (como era esperable) $1000, mientras que la de la derecha resulta ser:

900 + 800 + 700 + 600 + 500 + 400 + 300 + 200 + 100 = $ 4500.

¿Y ahora? ¿Cómo puede ser que haya semejante diferencia? ¿No deberían dar igual?

Piense conmigo: en cualquiera de los dos ejemplos, cuando uno suma los números de la primera columna, obtiene todo el dinero que retiró. Como al hacer el último retiro ya no queda más nada, eso significa que en total usted habrá extraído el total que había en la cuenta: mil pesos.

Mientras tanto, la columna de la derecha sólo expresa los saldos parciales. Es decir, el dinero que va quedando en la cuenta a medida que usted va retirando dinero. Y aquí la clave del problema: ¿qué sentido tendría ir sumando el dinero que le va quedando en la cuenta luego de cada extracción?, ¿qué habría de medir?

Como usted advierte, sumar los datos de la columna de la derecha no sirve para medir nada. En el caso que yo presenté originalmente, los números se acercan por casualidad. Difieren en 10 pesos en forma totalmente accidental y de allí la confusión. Pero, en realidad, en casi cualquier otro caso, los resultados de ambas suman no tienen por qué tener ningún tipo de relación. Lo sorprendente es que el caso expuesto más arriba pareciera sugerir que ambas sumas deberían dar igual, cuando en realidad no tienen nada que ver.

Pero uno se tienta por las similitudes, suma ambas columnas porque es lo que le piden y no se cuestiona nada. Va y suma. ¿Cómo puede ser que uno no reaccione casi inmediatamente diciendo: “La pregunta no tiene sentido”? Sin embargo, uno le adjudica potencial validez y se somete a pensar algo que debería ser casi obvio que es equivocado. Y, como escribí más arriba, nos pasa a muchos... a casi todos.

En algún sentido, nos dejamos llevar por la pereza. Es mucho más cómodo pensar por qué faltan los diez pesos que poner en duda toda la estructura intelectual montada alrededor del hecho: “Si me preguntan por qué faltan los diez pesos, por algo será”.

A usted, ¿qué le pasó?, ¿hizo las cuentas buscando el error o advirtió que no tenía sentido? ¿Le sirvió para algo el ejemplo?

(1) http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/13-83514-2007-04-17.html