Escala

Tengo un par de problemas breves para plantearle. Son situaciones de la vida cotidiana. Fíjese qué haría usted si se tuviera que decidir qué hacer.

1 En la esquina de su casa están por abrir una nueva pizzería. Los dueños son un matrimonio joven, amigos suyos de la infancia y necesitan de su ayuda. Le muestran el menú y le piden un consejo. Ya están listos para poner los precios y tienen una disputa entre ellos (marido y mujer) y decidieron consultarle. Y este es el problema que le plantearon.

Todas las pizzas del menú aparecen en dos medidas: chica y grande. Son todas redondas (o circulares). Las chicas tienen 20 centímetros de diámetro, mientras que las grandes miden el doble (de diámetro): 40 centímetros.

Después de haber hecho todos los cálculos, ellos dicen saber qué precio cobrar por las pizzas chicas, pero la disputa es con el valor de las grandes. La señora quiere convencer al marido que está equivocado con lo que dice no solo respecto de los precios, sino que ella cree que también está equivocado en la estimación de los ingredientes que necesitan usar para las pizzas más grandes. Y acá es donde quisiera hacerle yo una pregunta en un caso particular.

Suponga que deciden cobrar 100 pesos la pizza chica de jamón y muzzarella y aceptando como cierto que quieren conservar la calidad de la pizza grande poniendo la cantidad de ingredientes que correspondan cuando duplican el diámetro... ¿a qué precio tendrían que vender la pizza grande?

¿Y qué hacer con los ingredientes? La señora está enojada con el marido porque ella sostiene que no será suficiente duplicar los ingredientes para conservar la calidad... ¿Quién tiene razón en este caso y por qué?  

2 Mientras usted sigue discutiendo con ellos la solución que les aportó deciden caminar hacia la pizzería para seguir la conversación. Lo que usted no había advertido es que en la misma cuadra habían abierto una nueva rotisería. El lugar parece moderno porque desde afuera, desde la calle, se puede ver parte de la cocina.

De hecho, los tres se detuvieron y vieron con claridad lo que sucedía con las dos sartenes que estaban friendo albóndigas de carne. En una de ellas las albóndigas eran chiquitas, como si fueran pelotitas de ping-pong; en cambio en la otra, las albóndigas eran más grandes, como parecidas a pelotitas de tenis. Si alguien le hubiera pedido que estimara el tamaño de cada una, usted habría dicho que las más pequeñas eran de un centímetro de diámetro mientras que las más grandes parecían de tres centímetros de diámetro, algo así como el triple de las otras.

Pero con todo, lo que más le llamó la atención a los tres fue un cartel con una promoción. Usted podía elegir comprar, por el mismo precio, cuarenta de las albóndigas pequeñas o bien dos de las grandes. Leyó bien: cuarenta de las chicas o dos de las grandes.

¿Qué le convendría hacer? ¿Cuál de las dos opciones es la más conveniente? ¿O da lo mismo? Si usted se viera enfrentado a esta situación (ideal, por cierto), ¿qué haría?

Ahora es su turno.

Ideas

 Por un momento, imagine que usted se enfrenta con una réplica de un auto de carrera o la locomotora de un tren eléctrico. Si las versiones fueran fieles a la realidad y usted pudiera inflarlos o ampliarlos en todas las direcciones posibles, debería obtener una copia de los originales.

También está claro que si tuviera que pintar el objeto en miniatura, usaría una cantidad de pintura mucho menor que si tuviera que pintar el original. Y lo mismo sucede con el volumen. Hasta acá –creo– estamos de acuerdo, pero la pregunta es ¿en cuánto se modifica? ¿Cómo se mide esa diferencia? ¿Qué sucede con las superficies y los volúmenes cuando uno modifica la escala?

Los problemas que figuran más arriba son dos casos particulares de lo que acabo de describir. Se trata de decidir en cuánto aumenta la superficie de la pizza si duplico el diámetro y, por otro lado, poder estimar la cantidad de carne que se usa en cuarenta de las albóndigas chicas si uno la compara con las que se llevaría si compra las dos albóndigas grandes.

Ahora, acompáñeme por acá. No va a resolver ninguno de los dos problemas originales pero, conceptualmente, sí. Suponga que usted está dentro de una habitación que mide (1 x 1), o sea, un metro de ancho por un metro de largo. La superficie de ese lugar es entonces un metro cuadrado. Fíjese lo que sucede si usted duplica cada lado. La habitación se transforma en una de 2 x 2. A usted no se le escapa entonces, que la superficie del lugar es ahora… ¡cuatro veces más grande que la anterior!

Es decir, duplicar los lados, no implica duplicar la superficie, sino que el área se ¡cuadruplica!

La pizza grande debería costar cuatro veces más que la pizza chica; es decir, debería costar 400 pesos. Lo mismo con los ingredientes. Si usted usa –por poner un ejemplo– 100 gramos de muzzarella y tres fetas de jamón en la pizza chica, en la grande tiene que poner 400 gramos del queso y 12 fetas de jamón.

Es sorprendente, pero es lo que sucede. Uno puede usar cantidades menores, pero eso atentará inexorablemente en contra de la calidad del producto.

Con esta misma idea, le propongo que ahora piense lo que sucede con las albóndigas. ¿Cómo aumenta el volumen si uno triplica el diámetro?

Ahora, en lugar de una habitación de 1x1, exploremos lo que pasa con un cubo y explorar este ejemplo, servirá para resolver el problema de las “esferitas”. Si usted tuviera un cubito de hielo, por ejemplo. Suponga que mide (1cm x 1cm x 1cm), o sea, un centímetro de largo, ancho y alto. El volumen, que se calcula multiplicando esos tres números, resulta ser un centímetro cúbico.

Ahora, tripliquemos cada lado. El nuevo cubo es de (3cm x 3cm x 3cm), ya que cada lado tiene 3 centímetros. Haga la cuenta conmigo. El resultado es ¡27 centímetros cúbicos! ¿Y qué dice esto? Contra lo que la intuición parece indicar, si uno triplica el lado, el volumen hay que multiplicarlo por 27.

Me imagino que usted debe estar pensando: “Un momento; usted me planteó ejemplos de pizzas (círculos) y albóndigas (esferas)... ¿por qué ahora hace el análisis con ‘cuadraditos’ y ‘cubitos’?”

Simplemente para hacer más sencillas las cuentas. Pero créame que, como escribí más arriba, las ideas importantes están en los dos casos que escribí recién. De todas formas, si quiere utilizar las fórmulas correspondientes a los círculos y esferas (empezando por la tradicional: Pi por radio al cuadrado), verá que los resultados son correctos.

Ahora volvamos al ejemplo de las albóndigas. Como el diámetro de la albóndiga más grande triplica al diámetro de la más chica, eso significa que hace falta usar 27 veces más carne en la grande que en la chica. Como el cartel ofrece dos albóndigas grandes, la cantidad de carne involucrada es dos veces 27, o sea, el equivalente de 54 albóndigas chicas. ¿Qué le conviene hacer entonces? ¡Llevarse las dos grandes! Ni aunque le dieran 50 de las más pequeñas le conviene aceptar.

Eso contesta las preguntas, pero lo más importante acá es advertir que una modificación lineal (como fue el aumento del diámetro de la pizza o de la albóndiga), implica una modificación cuadrática de la superficie y cúbica en el caso del volumen.  ¿No sería útil saber esto para poder operar en la vida cotidiana?