Suponga que usted está a cargo de un contingente de cien jóvenes que fueron a Bariloche en viaje de egresados. Van a pasar tres semanas juntos en un mismo hotel. Cada uno tiene su propia habitación. Usted está a cargo del grupo y fue elegido unánimemente por su capacidad creativa.

En el hotel, además de las habitaciones que ocupan usted y los estudiantes, hay una sola pieza vacía, que no ocupa nadie porque la están pintando. Usted quería verificar que la podía usar y para eso, consiguió la aprobación del gerente. Dentro de esa habitación solo hay una lamparita que cuelga del techo (y que funciona cuando es activada por un interruptor que está en la pared) y nada más.

La primera mañana que pasan juntos, mientras están en el desayuno, usted toma un micrófono y les cuenta el problema a los estudiantes.

“Buen día. Tengo algo para proponerles. Como ustedes pueden ver, en este momento son las 9 de la mañana. Dentro de una hora, yo les voy a pedir que cada uno de ustedes vuelva a su respectiva habitación y se quede allí sin establecer ningún contacto con el exterior. En el momento en el que todos estén adentro, yo voy a iniciar el siguiente proceso:

Voy a elegir un número cualquiera (que no les voy a decir) y voy a pasar por todas las habitaciones ese número de veces en forma aleatoria. Ustedes se estarán preguntando: ¿Y nosotros qué hacemos o qué tenemos que hacer? Ténganme un poco de paciencia y ya verán.

Cuando yo entre en una habitación, quien la ocupe me acompañará a la habitación que está vacía. Yo voy a cerrar la puerta y la/lo voy a dejar en soledad por un minuto. En ese lapso, quien esté adentro podrá encender la luz si está apagada, apagarla si está encendida, o no hacer nada y dejar todo en las mismas condiciones que cuando entró. Cuando se haya cumplido el minuto exactamente, voy a abrir la puerta y la/lo voy a acompañar nuevamente a su habitación. Ningún otro estudiante podrá ver lo que sucede afuera salvo la persona que venga conmigo a la pieza que está vacía. En todo caso, lo que quiero enfatizar es que el resto de ustedes, ignorará todo lo que pasa afuera”.

Podría suceder que en algún momento de este proceso, alguno de ustedes tenga manera de saber que todos (me refiero a ustedes 100), ya entraron en la habitación vacía al menos una vez. En ese caso, le pido que quien pueda demostrarlo interrumpa el proceso y me diga: ¡Yo estoy segura/o que ya entramos todos por lo menos una vez!

Eso sí: cuando yo haya pasado por las habitaciones el número de veces que había elegido al principio, si ninguno de ustedes detuvo el proceso, repito todo de nuevo. Es decir, voy a volver a elegir otro número que no les voy a comunicar y voy a volver a pasar por todas las habitaciones ese número de veces. El orden por el que pase por ellas será -una vez más- un número que voy a elegir al azar. Igual que antes: si al terminar esta parte del proceso ninguno de ustedes me detuvo, lo voy a repetir. Y así voy a seguir tantas veces como haga falta.

Antes de empezar, quiero dejarlos solos por una hora de manera tal que puedan pensar una estrategia que les permita determinar con certeza cuando todos hayan visitado la habitación vacía por lo menos una vez. No lo dije hasta acá, pero en el momento de comenzar el proceso, la luz en la habitación que están pintando, está apagada.

El problema no tiene trampa, no hay ‘nada’ dentro de la habitación que permita hacer ‘marcas’ que los otros puedan ver ni algo equivalente. No. Se trata de un planteo genuino, honesto y que pretende motivarla/o para que sea usted quien piense qué se podría hacer.

Algo más: “La probabilidad que usted se encuentre con un problema parecido al que describí más arriba es virtualmente nula. No tengo dudas, pero… ¿cuántas oportunidades tiene para entretenerse pensando? Ahora sí... le toca a usted.

Una estrategia posible

Es un problema precioso que requiere, sobre todas las cosas, ganas de crear. Estoy seguro que hay múltiples formas de solucionarlo.

Los estudiantes podrían hacer lo siguiente: distinguir a uno de ellos, a quien voy a llamar Pérez y ejecutar el plan que escribo a continuación. 

Cuando uno de ellos (que no sea Pérez) entra en la habitación por primera vez hace lo siguiente: si encuentra la luz apagada, la enciende. Si no, si al entrar la luz ya estaba encendida, espera que pase el minuto y que yo lo venga a buscar. Por otro lado, si usted ya había entrado alguna otra vez en la habitación y ya había encendido la luz alguna otra vez, entonces, tampoco hace nada. De esta forma, se garantiza que cada estudiante enciende la luz de la habitación vacía ¡una sola vez!

Para terminar, Pérez sigue un protocolo diferente. El va a llevar un contador que empieza en cero y que va aumentando de a uno por vez hasta llegar a 99 ¿De qué forma? Cada vez que entra y encuentra la lámpara encendida, suma uno al número que llevaba hasta entonces y apaga la luz. Si en cambio, encuentra la luz apagada, la deja como está y espera que pase el minuto y lo vengan a buscar.

En el momento en que la cuenta que lleva Pérez llega a 99, allí está la oportunidad para detener el proceso y afirmar que todos entraron al menos una vez en la pieza que están pintando ¿Por qué? ¿Quiere pensar usted antes de leer lo que sigue? 

Está claro que cada uno de los estudiantes enciende la lámpara una sola vez. Puede que haya entrado en la habitación varias veces antes, pero cada vez que lo hizo, se encontró con que la luz estaba encendida (y por lo tanto, las reglas le indican que no tiene nada que hacer) o bien encuentra la luz apagada pero ya la había prendido alguna vez anterior.

Moraleja: cada estudiante enciende la luz ¡una sola vez! 

Cuando Pérez llegó con su cuenta a 99, él sabe entonces que eso pasó porque ya entraron todos los estudiantes al menos una vez y como obviamente él, Pérez, está adentro de la habitación, está en condiciones de llamar al instructor y avisarle que la estrategia funcionó. ¡Y listo! (1)

Final: escribí más arriba que es muy poco probable que una persona normal se encuentre con un problema de este tipo en su vida cotidiana. Sin embargo, un problema equivalente (con prisioneros, celdas, ejecuciones, etc) apareció entre los que pedía Microsoft para aspirantes a trabajar en la compañía que fundó Bill Gates.

¿Tiene alguna importancia? No creo… ¿Querrá decir que si hay alguna persona que encontró la estrategia (o una estrategia) es mejor? ¡No! Dice solamente que se le ocurrió una forma de resolver este problema. 

En todo caso, lo único que a mí me importa, es aprovechar nuestra capacidad para pensar… y en el camino, pasar un buen rato. Ah, y como siempre, aunque no lo parezca: ¡esto es hacer matemática también! (2)

Notas:

(1) Algunas observaciones: a) Pérez es el único que -de acuerdo con las reglas- puede apagar la luz; b) Si piensa cómo funciona la estrategia, usted tiene la certeza de que en algún momento -después que el instructor eligió 100 números como máximo- Pérez tuvo que haber apagado la luz 99 veces y entonces, está en condiciones de decir que ya entraron todos por lo menos una vez. La primera vez que pasa, uno se asegura que Pérez pasa una vez por lo menos para apagar la luz si está encendida. Después, puede que la encuentre apagada muchas veces, pero seguro que como el instructor sigue pasando, en algún momento va a pasar algún estudiante que prenderá la luz y Pérez la apagará la próxima vez que entre. De esta forma, uno se asegura que a lo sumo en muuuuuuuuchas (con muchas ‘u’) pasadas, Pérez apaga la luz 99 veces, y en ese momento, él sabrá que ya pasaron todos.

(2) Sobre este problema se conocen múltiples versiones. La diferencia se establece en la forma en la que el instructor del grupo pasará por las habitaciones. Yo elegí una de muchas para publicar en este artículo, pero si le interesa el tema, hay variantes esencialmente probabilísticas, que son muy interesantes. En estos casos, el tiempo que le llevaría pasar por todas las piezas es variable y quizás no le alcancen las dos semanas de vacaciones que se tomaron. De todas formas, la solución (o estrategia) que eligieron los alumnos, sigue siendo válida para poder garantizar la respuesta.