Dos joyitas

Dos problemas preciosos. En principio, creo que no hace falta siquiera tener en dónde anotar. Si necesita escribir, hágalo, por supuesto, pero estoy seguro que se deberían poder resolver mentalmente.

Acá van.

1 Yo le doy nueve monedas de un peso. Son todas verdaderas, salvo una que pesa un poco menos. Usted tiene que decidir cuál es la moneda falsa. Estas son las condiciones. Tiene una balanza con dos platillos que podrá usar nada más que dos veces poniendo monedas en la balanza. La idea es diseñar una estrategia que permita distinguir la moneda que pesa menos. 

2 Los números naturales son los primeros números con los que nos tropezamos como niños: 1, 2, 3, 4… son aquellos con los que empezamos a contar y para eso, usamos los diez dedos de las manos. Después aparece el cero, una abstracción que a la humanidad le llevó mucho tiempo en definir... y aceptar. Un poco más adelante, surgen los números negativos (las deudas): -1, -2, -3, -4, -5… 

Después, les pusimos un nombre: al conjunto de números que incluye a los naturales, al cero y a los negativos, los llamamos “números enteros”. 

Ahora viene el problema. En un papel yo tengo anotada cierta cantidad  X  de números enteros CONSECUTIVOS. El menor es (-32). O sea, (-32) es el más chico de todos. 

La suma de todos resulta ser 67. ¿Cuál es X? O dicho de otra manera, ¿cuántos números tengo anotados en mi papel?

Como siempre, tómese tiempo. Si no puede dedicarle un rato ahora, déjelo para después. Disfrútelo. ¿Qué apuro hay? ¿Quién mira? ¿Quién juzga? ¿A quién le importa? 

Respuestas

1 Elija seis de las nueve monedas y ponga tres en cada platillo. Pueden suceder dos cosas. O bien los dos platillos marcan igual, en cuyo caso la moneda falsa está entre las tres que quedaron afuera, o bien alguno de los dos platillos pesa menos. 

Si los dos platillos están igualados, elija dos de las monedas que usted no incluyó en la primera pesada. Ponga una en cada platillo. Si pesan lo mismo, la moneda que quedó afuera es la moneda falsa. Si no, alguno de los dos platillos tiene que pesar menos. Ese es el que contiene a la moneda falsa. Esto resuelve la primera situación posible en donde al pesar las primeras seis monedas, los dos platillos resultaban igualados. Con dos pesadas, encontramos la moneda que pesaba menos.

La segunda posibilidad es que al elegir las seis monedas y poner tres en cada platillo, haya uno de los dos que pese “menos”. Me imagino que usted ya sabe cómo seguir, ¿no es así? Es que estamos en la situación anterior. ¿Por qué? Tome las tres monedas del platillo que pesa menos y usted sabe que entre esas tres está la moneda falsa. Una vez más, como hicimos más arriba, elija dos de ellas y ponga una en cada platillo. Si alguno pesa menos, ese contiene la moneda falsa. Si pesan lo mismo, la falsa es la que quedó afuera. ¡Y listo!

2 Estamos un poco menos acostumbrados a pensar problemas de este tipo pero verá que es mucho más sencillo de lo que parece. Para eso, separo los tres datos importantes y vemos cómo relacionarlos.

a. El más chico de los números es (-32). 

b. Como son consecutivos, la lista que yo tengo en el papel tiene que empezar así: (-32), (-31), (-30), (-29), (-28)...

¿Me entiende por qué? El número (-32) es más chico que (-31) y a su vez, (-32) y (-31) son más chicos que (-30) y así siguiendo. Todavía no sabemos hasta dónde llega la lista (porque todavía no sabemos cuánto vale (X), pero sabemos que tiene que empezar así: -32, -31, -30, -29, -28...

c.  El otro dato importante (y que no usamos todavía) es que la suma de todos es 67. ¿Qué se deduce de esto? Como la suma de todos los números resulta un número positivo esto significa que los números que tengo anotados ¡no pueden ser todos negativos! (si no, la suma sería negativa). Para que la suma sea positiva, tengo que cancelar la suma de todos los negativos (algo así como pagar todas las deudas) y todavía seguir con algunos positivos hasta llegar a sumar 67. ¿Qué hacer?

Creo que ahora usted está en condiciones de seguir por su cuenta, pero avanzo igual. Imagine que los números están todos anotados en una “recta” (ver ilustración):

Fíjese que como los números son consecutivos, lo que puedo hacer es ir cancelándolos de a pares. Es decir, si la lista empieza con     (-32), (-31), (-30), (-29), (-28)... 

y sabemos que tiene que atravesar la barrera del cero y llegar a incluir positivos hasta sumar 67, entonces, alcanzará con poner todos los positivos que sirvan para anular los negativos del otro lado. ¿Qué quiero decir con esto? 

Como está el (-32), del otro lado tendré que llegar hasta el +32. Por supuesto, la suma de (-32) y (+32) resulta ser cero. De la misma forma, como está el (-31) y también aparecerá el (+31), la suma de esos dos también resultará cero. Así, todos los negativos que están en la lista se van a compensar con los positivos que están del otro lado. 

Luego, la lista contendrá los 32 números negativos: -32, -31, -30, -29, -28... -3, -2 y -1. Por otro lado, va a contener también los equivalentes positivos: 1, 2, 3, 4, 5... 28, 29, 30, 31 y 32. Hasta acá, tendríamos 64 números (que en total, suman CERO). 

Pero todavía no terminamos. ¿Por qué? Primero, porque falta el número cero. Como los números de la lista son consecutivos, lo tengo que incluir para poder “cruzar” al otro lado. Hasta acá hay 65 números. Pero si terminara allí, la suma no daría 67 sino que sumaría cero. ¿Qué hacer? 

Fíjese que hasta acá, el número más grande es 32. Si agrego dos más, 33 y 34, ahora sí, la suma dará 67 (ya que 33+34 = 67). ¿Y cuántos números hay en total? Había 65 desde el (-32) hasta el (+32), y ahora, agregué dos más. En total hay 67 números. Hemos descubierto entonces que  X = 67. Listo.

Una última reflexión. Yo miro todo lo que tuve que escribir más arriba para el segundo problema y me asusto. Sin embargo, le propongo que no deje que la/lo confunda con mi argumentación. Mire la “porción de recta” que aparece en el dibujo, y se dará cuenta que el argumento “visual” es contundente, sencillo y mucho más económico. 

* El problema de las monedas lo propuso hace más de medio siglo Martin Gardner, el mejor comunicador de la matemática recreativa de la historia. 

El segundo, lo vi el otro día en una competencia de matemática que se realizó en Texas en el año 2014.