CONTRATAPA

Cara o ceca

 Por Adrián Paenza

Si hay algo que le falta a este mundo cada vez más controvertido es que venga alguien y diga que tirar una moneda al aire no ofrece un 50 por ciento de posibilidades de que salga tanto cara como ceca (suponiendo que la moneda no está “cargada”). Es decir, si hay algo que uno da como seguro en la vida es eso: 50 por ciento para cada lado, cara o ceca. Es algo así como una manera de vivir.

Pero, ahora, necesito decir: ¡no tan rápido! No esté tan seguro de que es así.

No crea que a mí no me impacta escribirlo tanto como a usted leerlo. La noticia me desconcertó a mí también, y si no fuera por la seriedad de los involucrados –los responsables intelectuales– no le habría dado mayor crédito. Pero, como Persi Diaconis es uno de los autores del trabajo, vale la pena prestar atención.

¿Quién es Persi Diaconis?

Persi Diaconis nació en Nueva York, en enero de 1945, en una casa de músicos. Durante muchísimos años fue mago profesional. Sí: mago. Dejó el colegio a los 14 años y se dedicó a recorrer Estados Unidos con Dai Vernon, considerado “el mejor mago de la historia norteamericana”.

Diaconis era tan bueno generando nuevos trucos y aportando nuevas ideas que empezó a ganarse la vida haciendo magia. Pero su pasión, según su propia confesión, era estudiar probabilidades. Por lo tanto, a los 25 años terminó inscribiéndose en el New York City College y se graduó dos años y medio después. Curiosamente, no bien se graduó fue invitado como estudiante de doctorado en Harvard, nada menos, donde se doctoró en 1975. Y allí, en Harvard, es donde ha trabajado la mayor parte del tiempo.

Lo interesante de Diaconis es que dedicó su vida a estudiar cosas que al resto de los humanos nos parecerían marginales. Por ejemplo, lo que lo hizo famoso casi instantáneamente fue que, en un trabajo muy celebrado (*), demostró que si uno mezcla un mazo de cartas sosteniendo la mitad de esas cartas en cada mano y las entrelaza como se hace en los casinos, entonces, alcanza con mezclar siete veces. Todo lo que uno haga después es irrelevante.

Es decir: si al terminar una “mano” de cualquier juego de naipes, uno quiere tener la garantía de que el mazo quedará bien mezclado, alcanza con mezclarlas siete veces.

Algunos autores señalan que con cinco o bien seis veces es suficiente, pero teniendo en cuenta los parámetros (matemáticos) que quiere cubrir Diaconis hacen falta siete veces para considerar que las cartas quedan mezcladas al azar.

Diaconis hizo muchísimos otros aportes en matemática, especialmente en temas que tienen que ver con procesos aleatorios (al azar) y usó sus hallazgos con las cartas para otros problemas que parecían, en principio, no tener relación.

El 28 de julio del 2009, David Adler, autor del libro Snap Judgment (algo así como “juicio instantáneo” o “sin pensar”), que está por aparecer este mes, hace referencia a un nuevo trabajo que involucra a Diaconis, esta vez con otros colaboradores: Susan Holmes y Richard Montgomery.

Los resultados son sorprendentes: cuando uno hace que una máquina especialmente diseñada arroje una moneda al aire, y uno puede controlar la fuerza con la que es disparada hacia arriba, entonces, el resultado es predecible y uno puede anticiparlo, tanto que la máquina puede hacer que el resultado sea siempre cara.

Adler dice también en su artículo que esto es esperable, teniendo en cuenta que si uno puede controlar la fuerza, también puede calcular la cantidad de veces que la moneda girará en el aire y, por lo tanto, modificarla (la fuerza) hasta lograr que salga o bien cara o bien ceca.

Sin embargo, lo que es realmente espectacular es notar que cuando hicieron el mismo experimento con seres humanos, si la moneda estaba en posición de cara antes de tirarla, caía un 51 por ciento de las veces también en posición de cara. Y si empezaba en ceca, sucedía lo mismo. Es decir, ¡la posición inicial determina la mayoría de las veces el resultado final! Y para poder escribir “mayoría”, como acabo de hacer, es porque el resultado es mayor a un 50 por ciento.

El trabajo de Holmes, Montgomery y Diaconis (**) dice en el sumario: “Analizamos el proceso natural al arrojar una moneda con la mano. Comprobamos que una moneda arrojada consistentemente tiende a caer en la misma posición en la que salió. Lo que produce este hecho depende de un único parámetro, que es el ángulo entre la normal (perpendicular) a la moneda y el vector momento angular. Reportamos también las medidas de estos parámetros, basados en fotografías de alta velocidad. En condiciones normales, la chance de que (la moneda caiga) en la misma posición en la que salió es de un 0,51 (o sea, un 51 por ciento de las veces)”.

Puede que a usted este episodio le resulte irrelevante. Sin embargo, créame que atenta contra lo que uno siempre sospechó y ahora parece que no es cierto: tirar una moneda al aire fue siempre una garantía de equidad, igualdad.

Habrá que revisar nuestras viejas ideas y estar atentos. Al menos, cuando alguien quiera tirar una moneda delante suyo para definir algo que la/lo involucra, dígale que usted va a ser quien la arroje y quien elija.

Y si quien la va a arrojar va a ser otra persona, pídale ver cuál va a ser la posición inicial y usted elige. Si no la/lo dejan, entonces elija otro método que garantice igual probabilidad porque, desde ahora, tirar una moneda al aire no es más algo confiable.

(*) “Trailing the Dovetail Shuffle to its Lair”, apareció en el Annals of Applied Probabilities, Volumen 2, Número 2, en 1992 (Págs. 294-313), y tiene a Persi Diaconis y Dave Bayer como coautores.

(**) “Dynamical Bias in the Coin Toss” (“Tendencias Dinámicas al Arrojar una Moneda”), publicado en la revista Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, USA, Volumen 49, Ejemplar 2, abril del año 2007, Págs. 211-235.

Nota: El doctor Eduardo Cattani, mi amigo personal, excelente matemático argentino que trabaja en la Universidad de Massachusetts, en Amherst, especialista en Geometría Teórica, Funciones Hipergeométricas y Teoría de Hodge, fue quien me envió el artículo de Adler. Por lo tanto, el crédito le corresponde todo a él.

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