CONTRATAPA

El juego de los números naturales

Por Adrián Paenza

Ahora que se ha puesto de moda hablar sobre La Teoría de Juegos*, vale la pena plantear alguno de los problemas más característicos y atractivos que hay. El que sigue, justamente, es un desafío precioso y sutil. Es, además, muy interesante para pensar.

Supongamos que hay dos personas que van a jugar al siguiente juego. A cada uno de ellos se le va a colocar en la frente un número natural (es decir, se llaman naturales los números 1, 2, 3, 4, 5... etcétera). Sin embargo, la particularidad es que los números van a ser consecutivos. Por ejemplo, el 14 y el 15, o el 173 y el 174, o el 399 y el 400.

Obviamente, no se les dice qué número tiene cada uno, pero cada uno, a su vez, puede ver el número del otro. Gana el juego aquel que es capaz de decir qué número tiene escrito en la frente, pero dando una explicación de por qué dice lo que dice.

Se supone que ambos jugadores razonan perfectamente y sin errores, y esto es un dato no menor: saber que los dos jugadores tienen la misma capacidad de razonamiento y que no cometen errores es crucial para el juego (aunque no lo parezca).

La pregunta es: ¿es posible que alguno de los dos competidores pueda ganar el juego? Es decir, ¿podrá en algún momento uno de ellos decir “yo sé que mi número es ‘n’”?

Por ejemplo: si usted jugara contra otra persona, y usted viera que en la frente de su rival hay pintado un número “1”, su reacción debería ser inmediata. Ya ganó, porque usted podría decir: “Tengo el ‘2’”. Usted puede afirmar con certeza que su número es el “2”, porque como no hay números más chicos que 1 y ése es justo el que tiene el otro competidor, usted, inexorablemente tiene el “2”.

Este sería el ejemplo más sencillo. Ahora, planteemos uno un poco más complicado. Supongamos que usted ve que la otra persona tiene pintado el “2”. Si usted se dejara llevar por las reglas que le fueron explicadas, en principio, lo escribo otra vez, en principio, usted no podría decir nada con certeza. Porque, en principio, usted podría tener o bien el “1”, o bien el “3”.

Sin embargo, aquí interviene otro argumento: si su rival, que es tan perfecto como usted, que razona tan rápido como usted, que puede elaborar ideas exactamente igual que usted, no dijo nada hasta ahí, es porque él no está viendo que usted tiene el “1”. Si no, él ya hubiera gritado que tiene el “2”. Pero como no dijo nada, esto significa que usted no tiene el “1”. Por lo tanto, aprovechando que él no dice nada, es usted el que habla y dice: “Yo tengo el ‘3’”.

Y cuando le pregunten, “¿y usted cómo sabe, si usted está viendo que él tiene el ‘2’?, ¿qué otros argumentos usó?”, usted contestará: “Vea, yo vi que él tenía el ‘2’, pero como él no dijo nada, esto significa que yo no tenía el ‘1’ porque, si no, él hubiera sabido inmediatamente qué número tenía”. Y punto.

Es decir, en la Teoría de Juegos, no importa solamente lo que hace usted, o lo que usted ve, sino también importa (y mucho) lo que hace el otro. Aprovechando lo que hace (o, en este caso, lo que no hizo el otro, que es también una manera de hacer), es que usted pudo concluir qué número tenía.

Ahora, podríamos seguir.

Hagamos un paso más. Si usted viera que el otro tiene un “3” en la frente, entonces eso significaría que usted tiene el “2” o el “4”. Pero si usted tuviera el “2”, y su contrincante está viendo que usted lo tiene (al “2”) pero usted no habla, no dice nada rápido, entonces esto le está indicando a él que él no tiene el “1”. Si así fuera, su rival diría, “Yo tengo el ‘3’”.Y aquí está el punto. Como él no dijo nada (su rival), eso significa que usted no tiene el “2” sino que tiene el “4”. Y usted se apura y grita: “Yo tengo el ‘4’”. Y gana.

Con esta misma idea, uno podría avanzar aún más y usar números cada vez más grandes. ¿Podrá ganar alguno entonces? La pregunta queda abierta.

Este tipo de argumentos (llamados inductivos) requieren –como se ve– de razonamientos hilvanados, finos y sutiles, pero todos comprensibles si uno no se pierde en la maraña de las letras. Le propongo, por lo tanto, que se entretenga un rato pensándolo solo.

Aunque no parezca, todo esto también es hacer matemática. La discusión queda centrada entonces en cuán rápido razonan los jugadores y cuánto tiempo debería esperar para gritar su número o hacer una declaración que se basa en lo que el otro no dijo o no declaró.

Uno podría suponer que lo que quedó aquí descripto es una paradoja, porque aparece como posible que sólo sabiendo el número del otro y con la regla de que ambos participantes tienen números consecutivos, uno pueda deducir el número propio. Lo interesante es que los datos con los que se cuenta son más de los que uno advierte en principio. Los silencios del otro, o el tiempo que tarda en no decir lo que debiera si él viera lo que usted podría tener, le están dando una información adicional a usted.

Y en algún sentido, es singular también cómo el conocimiento va cambiando con el paso del tiempo. En la vida real, uno debería aplicar también este tipo de razonamientos, que se basan no sólo en lo que uno percibe sino también en lo que hace (o no hace) el otro.

* Los ganadores del Premio Nobel de Economía 2005, el israelí Robert J. Aumann y el norteamericano Thomas C. Shelling, lo consiguieron gracias a sus aportes a la Teoría de Juegos. La propia Academia Sueca, encargada de decidir a quiénes condecora, subrayó: “¿Por qué algunos grupos de individuos, organizaciones o países tienen éxito en promover cooperaciones y otros sufren y entran en conflicto?”. Tanto Aumann como Schilling han usado en sus trabajos la Teoría de Juegos para explicar conflictos económicos como la batalla de precios y situaciones conflictivas que llevan –a algunos de ellos– a la guerra.

Schelling dijo que no conocía personalmente al coganador, pero que mientras “él se dedica a producir avances en la Teoría de Juegos, yo soy quien aprovecha lo que él hace para aplicarlo en mi trabajo. Es decir: él produce, yo uso lo que él hace”.

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