CONTRATAPA

Velocidad promedio

 Por Adrián Paenza

Le quiero presentar un problema que podría plantearle su hija o su hijo cuando vuelve del colegio. Es uno de esos problemas que uno –creo– haría con los ojos cerrados y sin prestar demasiada atención. Pero, al mismo tiempo, una vez que lo lea, y espero que lo haga, me gustaría proponerle que recorramos juntos el camino hacia la solución. Los lugares que elegí para el planteo y los números son totalmente irrelevantes. Usted verá que se pueden cambiar y que en nada modifican la historia. Acá va.

Supongamos que usted quiere recorrer el camino que lo lleva por la Ruta 2 desde la Capital Federal hasta Mar del Plata. Como usted sabe, estas dos ciudades están separadas por 400 kilómetros. Como va a ir en auto, usted puede regular su velocidad como le plazca, pero se propuso hacer el trayecto a una velocidad promedio de 80 kilómetros por hora.

Sin embargo, cuando llegó a Dolores, como tuvo que detenerse más tiempo del que tenía previsto, advirtió que su velocidad promedio hasta allí fue de 40 kilómetros por hora.

Con esos datos, ésta es la pregunta: ¿a qué velocidad promedio tendrá que ir desde Dolores hasta Mar del Plata (los 200 kilómetros que le faltan) para poder cumplir con su objetivo? Es decir, antes de salir usted se planteó como meta hacer los 400 kilómetros llevando una velocidad promedio de 80 kilómetros por hora, pero al haber ido muchísimo más despacio (a la mitad) de lo que usted quería hasta llegar a la mitad de camino: ¿a qué velocidad promedio tendría que ir en la segunda parte si quiere cubrir los 400 kilómetros a 80 kilómetros por hora?

¿Quiere pensar el problema en soledad ahora?

Respuesta

Me dan muchas ganas de pedirle que no lea la respuesta o, al menos, que no la lea tan rápido. ¿Por qué no se da una oportunidad más de pensar? En todo caso, me apuro a decirle lo siguiente: la respuesta NO es viajar a 120 kilómetros por hora en la segunda mitad del trayecto. Si llegó a esa conclusión, le sugiero que lo piense de nuevo.

No. Yo no me equivoqué con lo que escribí hasta acá. Lo notable de este problema es que parece tener una solución inmediata y sin embargo, lo primero que se nos ocurre como potencial respuesta es –en general– equivocada. Digo “en general” porque quizá no fue eso lo que usted contestó.

Pero, en todo caso, si no fue 120 kilómetros por hora, ¿qué respuesta encontró usted? O mejor aún: ¿encontró alguna respuesta?

Antes de escribir la solución, quiero pensar algo junto con usted y después sí, tratamos de encontrar juntos el número que contesta la pregunta. Acompáñeme por acá.

Pongámonos de acuerdo en un par de cosas. La distancia a recorrer es de 400 kilómetros (Capital-Mar del Plata). Su objetivo es cubrir esos 400 kilómetros a una velocidad promedio de 80 kilómetros por hora. Entonces, ¿cuánto tiempo supone usted que le llevará hacer el viaje? Si son 400 kilómetros a 80 kilómetros por hora, la respuesta es que le debería llevar exactamente cinco horas hacer el trayecto. Eso está bien.

Por otro lado, de acuerdo con lo que escribí en el planteo, en los primeros 200 kilómetros usted no pudo llevar la velocidad que quería, sino que cuando hizo las cuentas, descubrió que fue a 40 kilómetros por hora. ¿Cuánto tiempo le insumió entonces hacer la mitad del viaje? Si hizo 200 kilómetros a 40 kilómetros por hora, eso significa que ese tramo le llevó cinco horas. ¿Y entonces? ¿Quiere pensar usted? ¿Cómo resolver este problema?

Aparece algo extraño en esto: usted quería hacer el viaje de 400 kilómetros usando cinco horas, y por eso quería viajar a 80 kilómetros por hora. Pero resulta que como usted no pudo ir a la velocidad que quería, ¡usó ya las cinco horas que tenía previstas para cubrir todo el trayecto en recorrer nada más que la mitad! Por lo tanto, ¡no importa a la velocidad que vaya en la segunda parte, nunca podrá cumplir con su objetivo!

La respuesta entonces es que... ¡no se puede! Y acá es donde me quiero detener. Estoy –casi– seguro de que a usted le pasó lo que nos pasó a todos los que vimos este problema, o cuando nos lo contaron la primera vez. La tentación de decir 120 kilómetros por hora para la segunda mitad para compensar los 40 kilómetros por hora para la primera es demasiado grande. En realidad, lo que quiero es hacerla/hacerlo reflexionar conmigo: no es que usted y/o yo estamos pensando mal el problema. No. El problema es que no estamos pensando. Estamos resolviendo otro problema (que voy a escribir más abajo), pero no el que está planteado. El problema que yo planteé inicialmente no tiene solución: la respuesta es “no es posible encontrar ninguna velocidad que pueda compensar lo que hicimos en los primeros 200 kilómetros”. ¿Notable, no? Sígame.

Escribí que no estamos pensando lo que plantea el problema, sino que estamos pensando en otra situación porque creo que lo que uno tiende a resolver es otro problema. Acá va:

“Uno quiere viajar de la Capital Federal a Mar del Plata (400 kilómetros) y lo quiere hacer a una velocidad promedio de 80 kilómetros por hora. Es decir, va a invertir cinco horas en hacer el trayecto.

Después de dos horas y media (la mitad del tiempo que usted tenía previsto para hacer todo el viaje) usted descubre que fue a 40 kilómetros por hora. Entonces, si la pregunta fuera: ¿a qué velocidad promedio tiene que recorrer el trayecto que le falta (que ahora no son 200 kilómetros) para que al llegar a Mar del Plata su velocidad promedio fuera de 80 kilómetros por hora, entonces sí, la respuesta sería que las siguientes 2 horas y media las tiene que hacer a 120 kilómetros por hora. ¿Por qué? Porque en las primeras 2 horas y media recorrió 100 kilómetros (ya que fue a 40 kilómetros por hora). Si en las siguientes dos horas y media viaja a 120 kilómetros por hora, entonces hace los 300 kilómetros que le faltan. Ahora sí, la velocidad promedio de todo el trayecto fue de 80 kilómetros por hora, como se propuso inicialmente.

En todo caso, lo curioso es que los dos problemas son distintos y, sin embargo, nosotros decidimos “confundirlos” y contestar el primero como si el planteo fuera el segundo. Creo que eso sucede porque tenemos –en alguna parte– pereza para pensar, pereza por el esfuerzo que ello implica y en todo caso, es siempre mucho más sencillo tratar de “recordar” que de pensar. Uno escucha que debería ir a 80 kilómetros por hora y que viajó a 40 kilómetros en la “mitad” e intuye que debe ser la “mitad” del tiempo y no la “mitad” del trayecto. Un problema tiene solución (el segundo) y el otro no.

Si pudiera extrapolar (y lo voy a hacer aun a riesgo de equivocarme), le sugeriría que cuando uno sospecha que los niños/jóvenes tienen problemas para interpretar un texto que leen (o escuchan), haga también un acto mínimo de introspección, porque a nosotros (los adultos) nos pasa lo mismo. Sólo que se nota menos porque a nosotros no nos toman “prueba” con tanta frecuencia.

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