CONTRATAPA

Preguntas sobre la escoba de 15

 Por Adrián Paenza

Jugar a las cartas es un pasatiempo universal. Como usted sabe hay diferentes tipos de naipes. Nosotros jugamos --en general-- con cartas españolas (tute codillo, tute cabrero, truco, escoba de 15, chinchón, por poner algunos ejemplos), pero también son populares las cartas francesas (poker, gin rummy, baccarat y otros), pero en el mundo existen más variedades, la mayoría de las cuales me son totalmente desconocidas.

Sin embargo, para el caso que quiero analizar acá, me interesa hablar de la Escoba de Quince. No voy a escribir las reglas en este espacio, pero me voy a tomar la licencia de suponer que una persona que está leyendo estas líneas las conoce, aunque todo lo que hace falta es saber que en ese juego el objetivo es ir juntando cartas hasta sumar 15. Para hacerlo más fácil aún, en lugar de excluir a los números ocho y nueve de cada palo, los voy a dejar. Por lo tanto, en lugar de que la "sota", el "caballo" y el "rey" valgan ocho, nueve y diez respectivamente, vamos a permitir que cada palo tenga doce cartas: del 1 al 12 y que cada número se represente a sí mismo. Es decir, la "sota" vale 10, el "caballo" vale 11 y el "rey" vale 12.

Ahora tengo algunas preguntas para hacerle. Supongamos que en un momento determinado quedan sobre la mesa las doce cartas de un mismo palo, digamos de "bastos" para fijar las ideas, pero nada cambiaría con otro palo.

Está claro que uno podría ir "levantando" cartas de la mesa sumando 15. Por ejemplo, uno podría juntar el siete y el ocho, y las podría retirar de la mesa. De la misma forma, podría apartar el 12, el uno y el dos. Estos tres naipes también suman 15. Como usted advierte entonces, hay muchas formas de ir retirando cartas cuya suma resulte ser 15.

Ahora sí, las preguntas:

a) ¿Hay alguna forma de retirarlas todas (siempre sumando de a 15)?

b) ¿Cuál es el menor número que pueden sumar las cartas que queden en la mesa?

c) ¿Es posible retirar cartas (sumando 15) de forma tal que las cartas que queden sumen 16? ¿Y 18?

Como se ve, son todas preguntas pertinentes no al juego propiamente dicho (ya que no se juega con las doce cartas de un palo), pero sí tiene sentido plantearlas como ejercicio intelectual.

Ahora le toca a usted.

Respuesta

Un dato interesante (e imprescindible para encontrar las respuestas a las preguntas planteadas) es averiguar cuánto suman todas las cartas de un palo. Las doce cartas suman:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 (sota) + 11 (caballo) + 12 (rey) = 78.

Con este dato, creo que usted debería estar en condiciones de contestar la primera pregunta. ¿Quiere pensar en soledad? Si no, sigo yo.

La respuesta es que no, porque al ir retirando cartas que vayan sumando 15, si las pudiéramos retirar todas eso significaría que 78 tendría que ser un múltiplo de 15... y eso no es cierto.

Quiero mostrar ahora que es posible llevarse cartas de manera que las que sobren en la mesa sumen tres.

Para poder hacerlo, es necesario encontrar alguna forma de llevarse cartas que sumen 75 (que es el máximo número múltiplo de 15 que uno puede encontrar con esas cartas). En este caso, uno podría juntar las cartas de esta forma:

(12 y 3); (11 y 4); (10 y 5); (9 y 6); (7 y 8).

Cada par de cartas suma 15. Las únicas dos que quedan en la mesa son el 1 y el 2. En consecuencia, tres resulta ser la respuesta a la segunda pregunta.

¿Se podrá encontrar alguna forma de levantar las cartas tal que la suma sea o bien dos o bien uno?

La respuesta es que no, porque si sobrara nada más que uno, es porque el total que levantamos suma 77, y eso no es posible porque 77 no es múltiplo de 15.

Tampoco es posible levantar cartas de manera tal que las que sobren sumen dos, ya que las cartas que retiramos sumarían 76, que no es múltiplo de 15.

Luego, queda confirmado que la menor suma que puede quedar es tres.

Ahora: ¿habrá alguna forma de retirar cartas (sumando 15) de manera tal que las que queden sumen 16?

La respuesta es que no, que no se puede. ¿Por qué? Porque si se pudiera, eso querría decir que las cartas que retiré sumaron 62 (ya que la suma total es 78). Pero como 62 no es múltiplo de 15, entonces no se puede.

Ultima consulta: ¿y que las que queden sumen 18? ¿No tiene ganas de pensar sola/solo?

Sigo yo: como en total las cartas suman 78, si las que sobran tienen que sumar 18, entonces las que retire deberían sumar 60. Y en este caso, como 60 sí es un número múltiplo de 15, quizás haya alguna manera de hacerlo. Y efectivamente, fíjese que si uno retira naipes formando estos conjuntos:

{1, 2, 3 y 9}, {4 y 11}, {5 y 10} y {7 y 8}

entonces, cada subgrupo suma 15, y las cartas que sobran son: 6 y 12, cuya suma es 18.

Y eso concluye las respuestas. Por supuesto, ninguna persona que juega a la escoba de 15 tiene exactamente este tipo de problemas aunque más no sea porque no intervienen las doce cartas de un palo. Sin embargo, hacerse este tipo de planteos intelectuales coopera con la estrategia que uno podría querer utilizar si va llevando la cuenta de las cartas que salieron hasta allí, las que están en la mesa y las que pueden estar en posesión de los rivales.

Más allá del entretenimiento, es, también, "hacer matemática".

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