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En la matemática pasa lo mismo que en el arte: la calidad perdura, los clásicos sostienen el paso del tiempo, la belleza resiste cualquier embate de lo coyuntural. Digo esto porque hay ciertos problemas que se mantienen a lo largo de los años. Aparecen otros, muchos otros que van quedando desubicados u olvidados, pero en la música, por ejemplo, La Traviata y Aída quedan, así como en la pintura La Gioconda y el Guernica trascienden las generaciones.

El siguiente es un problema que tiene una larga historia. No sé cuándo fue la primera vez que fue presentado en sociedad, pero lo que sí puedo afirmar es que es uno de los problemas más famosos que existen dentro de la matemática recreativa.

El enunciado es sencillo (como la mayoría de los problemas trascendentes dentro de este área) y la solución, también.

Mi experiencia me sugiere ofrecerle tres visiones:

1 Si usted elige el camino adecuado para pensarlo, y por lo tanto encuentra la solución muy rápidamente, no entenderá por qué hago esta presentación. Es más: le parecerá “un problema más”.

2 Si usted tiene que invertir una buena porción de su tiempo para resolverlo pero luego encuentra la autopista que lo lleva al resultado, sentirá la satisfacción de aquel que hizo un esfuerzo placentero y valioso. Es más: seguro que disfrutará del trayecto.

3 Si en cambio usted invirtió una buena porción de su tiempo para pensarlo pero no pudo arribar a la solución por sus propios medios, permítame sugerirle algo: no abandone. Como siempre, le queda el recurso de leer la solución que figura más abajo, pero usted sabe que esa herramienta la tiene a mano para usarla cuando quiera. En todo caso, si “espía”, se priva de pensarlo... y en definitiva: ¿qué sentido tendría? ¿Qué gracia pueden tener estos problemas que no sea la satisfacción que da el “pensarlos”, no tanto “resolverlos”?

Por último, antes de enunciar el problema, una observación: no hay forma que en su vida usted se tropiece con la dificultad que sigue más abajo. Cero. Nunca le va a pasar. Pero lo que sí puede pasarle es que el camino que usted recorre para pensar la respuesta lo tenga que usar nuevamente, aunque usted mismo nunca lo advierta. Son los caminos que se abren en la mente, ángulos para pensar que uno no sabía que existían hasta que los construye.

Ahora sí, el problema (1): suponga que hay dos trenes que están a punto de recorrer un camino de 100 kilómetros. Lo curioso es que ambos están sobre la misma vía, de manera tal que inexorablemente en algún momento van a chocar de frente. Ambos trenes andan a 50 kilómetros por hora.

Por otro lado, hay una mosca situada en la locomotora de uno de los trenes. Esta mosca es muy particular: tiene la habilidad de volar muy rápidamente. Lo hace a 75 kilómetros por hora. Más aún: cuando los trenes se pongan en marcha simultáneamente la mosca también empezará a recorrer la distancia que va entre un tren y otro. No bien llega a la locomotora del que viene de frente, da vuelta instantáneamente y se dirige ahora hacia el otro tren.

El proceso se repite hasta el momento en el que los dos trenes chocan (con la mosca en el medio).

La pregunta es: ¿cuántos kilómetros recorrió la mosca (antes de morir aplastada entre las dos locomotoras)?

Respuesta

Este problema, como la mayoría de los que trato de presentar, tiene múltiples lecturas. Hay un intento de solución que es típico y que aparece virtualmente en todas las personas con las que he hablado sobre este tema. Se trata de empezar a sumar las distancias que va recorriendo la mosca en cada “pequeño trayecto” que va entre cada una de las dos locomotoras. Los segmentos que va recorriendo son cada vez más pequeños y, en principio, no hay ninguna razón para no intentar hacer ese cálculo. De hecho, lo incluí más abajo como una nota al pie (2).

Pero otra manera de pensar este problema es la siguiente: si uno calcula el tiempo que tardan los dos trenes en chocar entre sí, eso indica el tiempo en el que la mosca estuvo volando entre uno y otro (tren). Es decir: basta con saber cuánto tiempo pasó para que los dos trenes chocaran de frente, para saber el tiempo que la mosca pasó en el aire yendo y viniendo. Pero como los dos trenes marchan a 50 km/h, y salen a una distancia de 100 km entre uno y otro, en el momento que recorrieron 50 kilómetros (o sea, a mitad de camino) chocan inexorablemente. Y como la velocidad a la que circulan es de (justamente) 50 km/h, eso indica que en una hora recorrieron 50 kilómetros. Lo único que falta es que deduzca qué distancia recorrió la mosca en ¡una hora! Y eso es fácil de contestar: la mosca recorrió 75 kilómetros en una hora (ya que vuela a 75 km/h). Y eso termina por resolver el problema (3).

Moraleja: si uno arranca a pensar el problema de esta forma, nunca comprenderá por qué hay semejante historia alrededor de él. Pero, como decía más arriba, justamente la historia de este problema está construida de los que –como yo– tratamos de sumar los “infinitos” segmentos que va recorriendo en cada pequeño tramo, en lugar de aproximarme/nos al problema, pensándolo en forma directa.

(1) Hay muchísimas versiones del problema. Yo elegí una cualquiera, en donde las cuentas que hay que hacer fueran sencillas, para no desviar la atención de lo esencial.

(2) La mosca viaja a 75 km/h, lo que significa que en un tiempo T, recorrió ((75 km/h) * T) km. Por ejemplo, si T = 2 horas, entonces, la mosca recorre (75 km/h)* (2 h) = 150 kilómetros. De la misma forma, dado cualquier tiempo T, cada tren recorre (50.T) kilómetros. ¿Qué distancia recorre la mosca desde que empieza el experimento hasta que se encuentra con el segundo tren? Para encontrar este número bastaría que yo encuentre el tiempo que tarda la mosca en chocar con el otro tren, ya que si calculo ese tiempo, entonces, lo multiplico por 75 y tengo la distancia que recorrió. Ese tiempo t se calcula así: 75 t = 100 – 50 t (*)

¿Por qué? Porque el término de la izquierda indica la distancia que recorre la mosca en un tiempo t, y el término de la derecha es la distancia que recorrió el segundo tren desde que salió a 100 kilómetros de la mosca y viajando a una velocidad de 50 km/h. Quiero encontrar el número t que haga que ambos se encuentren, y de allí la igualdad que figura en (*). Despejando en (*), se obtiene que 125 t = 100, por lo que uno deduce que t = 4/5 (de hora). Luego, para calcular la distancia que recorrió la mosca en 4/5 de hora, multiplico ese valor por 75 (que es la velocidad de la mosca) y se tiene: 75 * (4/5) = 60 kilómetros, y esa es la distancia que recorrió la mosca la primera vez que se encuentra con el segundo tren. Allí, instantáneamente da vuelta y arranca en sentido contrario. Ahora, quiero calcular cuánto recorre hasta encontrarse con el primer tren. Por lo tanto, igual que recién, me alcanzará con encontrar el tiempo que tiene que volar hasta tropezarse con el primer tren, e igualarlo con el tiempo que usa el primer tren hasta encontrarse con la mosca.

O sea, hay que encontrar el valor de t que hace que esta igualdad valga: 60 – 75 t = 40 + 50 t ¿Por qué? A la izquierda, estoy calculando la distancia que recorre la mosca desde el kilómetro 60 (donde se encontró con el segundo tren), a una velocidad de 75 km/h, hasta que se encuentra con el primer tren. Y en el término de la derecha, el número 40 indica los kilómetros que iba recorriendo el primer tren cuando la mosca se encontró con el segundo tren. Es que como la mosca había usado 4/5 de hora, entonces, en 4/5 de hora, el 1er. tren recorrió: (4/5) * 50 = 40 km. Entonces, de la igualdad (**) se deduce:

60 – 75 t = 40 + 50 t

20 = 125 t

t = 4/25 = 4/52

Luego, la mosca, en tiempo (4/52) recorrió: (4/52) * 75

Si uno sigue con este procedimiento, advierte que para calcular la distancia que recorrió la mosca hasta que los dos trenes chocan de frente, lo que tiene que hacer es sumar 75 * [(4/5) + (4/52) + (4/53) + (4/54) ... + (4/5n) + ... ] = 75

Para todos aquellos que hayan tropezado alguna vez en sus vidas con series numéricas, todo lo que hay que hacer es sumar la serie geométrica de razón 1/5, empezando desde el segundo término. De allí el resultado (75 kilómetros). Corolario: la mosca recorrió 75 kilómetros en el momento en el que muere aplastada entre los dos trenes.

(3) Hay una anécdota muy famosa (de dudosa veracidad) que indica que cuando le plantearon este problema al célebre matemático húngaro-norteamericano John Von Neumann, el padre de la Teoría de Juegos y uno de los que participó en el Manhattan Project que construyó las bombas atómicas que fueron arrojadas en Hiroshima y Nagasaki, Von Neumann contestó: “75 kilómetros”. Su interlocutor lo miró y le dijo: “Es extraño que usted lo hubiera resuelto tan rápido, ya que la mayoría de la gente trata de calcular la suma de la serie”. Von Neumann le respondió: “¿Por qué dice extraño? ¡Eso es exactamente lo que yo hice!”.