CONTRATAPA

Matemágica (hoy... monedas)

 Por Adrián Paenza

Un problema para desafiar su imaginación y mostrar el poder de la matemágica, casi hasta convertirse en magia. Usted verá cuán impresionante es el episodio que la/lo quiero hacer vivir. Acá va.

Le propongo lo siguiente: tome tres monedas cualesquiera, deposítelas en hilera de manera tal que queden formando una fila. Como yo no estoy ahí (donde está usted) para ver lo que está haciendo, las vamos a denominar así: moneda izquierda, moneda del medio y moneda derecha. Distribúyalas poniendo cara o ceca como prefiera. El desafío consistirá en lo siguiente: yo le voy a ir diciendo (desde acá) qué es lo que tiene que hacer con las monedas y le voy a mostrar que en menos de tres movimientos, yo voy a lograr que queden las tres caras o las tres cecas, independientemente de cómo las haya colocado usted al principio. Todo lo que tiene que hacer usted es seguir mis indicaciones y contestar mi pregunta con honestidad (intelectual). ¿Listo? Acá va.

1) Primera pregunta: ¿están las tres caras o tres cecas antes de empezar? Si su respuesta es sí, listo. No hay más nada que hacer. Ya logré lo que quería sin siquiera tener que hacer ningún movimiento. Como usted advierte, este paso es imprescindible para no perder el tiempo. Sigo.

2) Ahora, si no son ni tres caras ni tres cecas, dé vuelta la moneda izquierda. Es decir: si es cara, póngala en ceca. Si es ceca, póngala cara. Hágalo que yo espero acá.

3) Ahora, segunda pregunta: ¿son las tres caras o las tres cecas? Si la respuesta es sí, listo. Si no, pase al punto siguiente.

4) Ahora, dé vuelta la moneda del medio. Si está en la posición de cara, póngala en ceca, y si está en ceca, póngala en cara.

5) Tercera pregunta: ¿logré mi objetivo ya? Si es así, con dos movimientos puedo decir que misión cumplida. Si no... siga en el paso siguiente.

6) Ultimo movimiento: ahora vuelta a dar vuelta la moneda izquierda. Sí, la izquierda...

¿No es notable lo que pasó? En tres pasos (o menos) logré que las tres monedas quedaran en la misma posición. Lo notable es que desde donde yo estoy escribiendo esto, no pude ver la posición inicial de las monedas. Ahora bien: ¿por qué habrá pasado lo que pasó? ¿No le da curiosidad de averiguarlo?

La respuesta la va a encontrar acá mismo, aunque –como siempre– le sugeriría que le dedique un rato a pensarlo*. Si ahora no tiene tiempo, no siga leyendo. No se prive de la oportunidad de deducirlo en soledad.

Ahora sí, acá va. Le hago yo una pregunta para empezar: ¿de cuántas formas pudo haber puesto usted las monedas inicialmente? Veamos. Voy a llamar X a las “cecas” y C a las “caras”. La distribución (moneda izquierda, moneda del medio y moneda derecha) pudo haber sido así:

1) CCC

2) CCX

3) CXC

4) CXX

5) XCC

6) XCX

7) XXC

8) XXX

Como usted advierte, hay nada más que ocho posiciones[*] iniciales posibles. Tanto la primera (CCC) como la última (XXX) ya están en el lugar que quiero, por lo que no vale la pena considerar estos dos casos. Miremos los restantes. Si usted recuerda las instrucciones que yo fui poniendo más arriba, las únicas dos monedas que le pedí que moviera fueron la de la izquierda y la del medio. La última no la tocamos nunca. Por lo tanto, como al final queremos que las tres estén en la misma posición, eso implica que la moneda derecha será la que determine el lugar en el que van a terminar las tres. Es decir, si la moneda de la derecha es una “cara”, veremos que al hacer los pasos que yo le indicaba más arriba, las dos primeras terminarán en “cara” también. En cambio, si la de la derecha es “ceca”, entonces, en la posición final, quedarán las tres “cecas”.

Miremos las tres posiciones que terminan en X (ceca). Son

a) CCX

b) CXX

c) XCX

La posición (a) es tal que requiere de dos movimientos: dar vuelta la primera (que se transforma en XCX), y después la del medio (que ahora queda en XXX). Al hacer eso, cambio la posición de las dos caras y las transformo en cecas, como la última. Allí termina todo. Hacen falta dos pasos. En la posición (b), ni bien da vuelta la primera moneda se consigue lo que uno quiere: XXX. Acá hace falta entonces un solo paso.

Por último, el caso (c) es el único de los primeros tres que requiere de tres movimientos. ¿Por qué? Fíjese. En el primer paso, al dar vuelta la primera, tenemos CCX. En el segundo, damos vuelta la del medio, y tenemos CXX. Por último, en el paso final, hay que volver a dar vuelta la primera, y por lo tanto se tiene XXX. Y listo.

Quedaría por analizar el caso de las tres posiciones que tienen una “cara” como posición para la tercera moneda. Es decir

d) CXC

e) XCC

f) XXC

¿No le dan ganas de intentarlo usted? Advertirá que el caso (d) requiere de los tres movimientos, y tendrá que pasar por: XXC, XCC para finalmente llegar a CCC. El caso (e) requiere de un solo movimiento: ya en el primer paso se llega a CCC. Por último, el caso (f) necesita de dos pasos. El primero llega a CXC y en el segundo, al dar vuelta la moneda del medio, se obtiene CCC. Y punto. Lo curioso de este truco es que es totalmente impensado. Pareciera como que el mago está haciendo eso, magia, pero como usted advierte, no importa cuál haya sido la posición inicial, el resultado que se obtiene es el de emparejar las tres caras y las tres cecas.

Final a toda orquesta

Hasta acá fue todo ingenuo: un truco de magia, un poco de análisis que provee la matemática para explicar por qué funciona y la utilización de monedas como “golpe de efecto”. Sin embargo, el hechode que tres movimientos (a lo sumo) fueran suficientes para igualar las caras (o cecas) en la mesa tiene una connotación mucho más profunda.

Este truco es una consecuencia de algo más profundo. En 1947, el físico norteamericano Frank Gray (1887-1969) patentó un sistema que llamó ‘código binario reflejado’, aunque hoy se conoce con el nombre de Código Gray o Código de Gray. Este código es un sistema de numeración binario, que se basa en que dos números binarios consecutivos difieren solamente en uno solo de sus dígitos. Se usa en electrónica y esencialmente sirve para detectar y corregir errores en los sistemas de comunicaciones, en la televisión por cable y la televisión digital terrestre. Esencialmente las tres monedas, con sus ocho posibles estados (como vimos más arriba), pueden ser pensadas como un cubo en tres dimensiones. Este cubo se puede reducir a un cuadrado por cuestiones de simetría. El Código de Gray indica cómo atravesar todos estos nodos cambiando la posición de una moneda por vez sin repetir ninguna configuración. Como uno cuenta las “movidas” y no las configuraciones que visita, uno termina “restando uno” a lo sumo tres veces. Y todo esto se puede generalizar: si uno tuviera n monedas, se tendrían 2n configuraciones, de las cuales 2(n-1) serían configuraciones dobles. En el peor de los casos, con 2(n-1) - 1 movimientos uno podría poner todas las monedas “cara” o “ceca”. Por ejemplo, si se tuvieran cuatro monedas, harían falta 2(4-1) - 1 = 23 - 1 = 7 movimientos.

* Uno puede deducir cuántas posibles posiciones iniciales hay, sin necesidad de hacer una lista exhaustiva. Es que cada moneda puede tomar dos estados (cara o ceca). ¿De cuántas formas puedo ubicar la moneda izquierda? De dos formas. Por cada una de estas dos, ¿de cuántas formas puedo ubicar la moneda del centro? También de dos formas. Luego, para las dos primeras monedas hay 4 posiciones, y como para cada una de estas cuatro, la última, la moneda de la derecha puede también ocupar dos estados (cara o ceca), hay que multiplicar estas cuatro por dos. Resultado final: ocho posiciones posibles.

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Imagen: Alejandro Elías
 

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