CONTRATAPA

División justa

 Por Adrián Paenza

Supongamos que usted (Alicia) y un amigo (Raúl) deciden apostar 50 pesos en un juego tan sencillo como el siguiente: se trata de tirar una moneda (o cualquier otro ejemplo en donde la probabilidad de ganar esté dividida por mitades, o sea, 50 por ciento de posibilidades para cada uno).

Cada uno de ustedes pone 50 pesos en un pozo y juegan al mejor de siete tiradas. Es decir, quien logre acertar en cuatro oportunidades (entre siete) es el que se lleva el dinero (los 100 pesos). No hace falta que sean cuatro aciertos consecutivos, sino que se trata de acertar cuatro entre siete.

Ahora bien. Supongamos que en un momento determinado, cuando Alicia está ganando 3 a 2, se corta la luz o se pierde la moneda con la que estaban jugando. Es decir, se produce algún acontecimiento que impide que siga el juego. Es importante notar que hasta allí todo se había desarrollado normalmente, y que la moneda fue arrojada cinco veces, de las cuales Alicia acertó en tres.

¿Qué hacer? Más allá de todas las bromas que se le ocurran y que puede usar en este momento, ¿cómo dividir el dinero?

Antes de avanzar, quiero hacer una observación: no pretendo que ni usted (ni nadie) trate de encontrar una solución que sea la correcta. Es que no tiene siquiera sentido buscarla, porque lo más probable es que se pueda rebatir cualquier potencial solución que uno crea haber encontrado.

Lo que sí quiero, sin embargo, es mostrar que hay múltiples maneras de hacer algo racional.

Por supuesto, una manera posible es decir: cada uno se lleva el dinero que invirtió (los 50 pesos) y se termina la historia. Y estaría bien. Sólo que la persona que había ganado tres de las cinco tiradas (Alicia), a quien le faltaba un acierto más para llevarse el pozo, podría oponerse y decir: “No. No es justo que hagamos de cuenta que el juego no existió hasta acá. Yo gané tres de cinco, y estaba a punto de llevarme todo. ¿Por qué habríamos de dividirlo por la mitad? Esa división no es justa para mí”. Y creo que usted convendrá conmigo que Alicia tendría razones para no querer dividir el dinero al medio.

Y entonces, ¿qué hacer? *

Al margen de dividir por la mitad como si el “partido” no hubiera empezado, hay otra forma que surge de inmediato: si Alicia estaba ganando 3 a 2 y uno quisiera conservar esta proporción, lo que se puede hacer es dividir el dinero de esa forma. De cada cinco unidades, tres son para ella. Luego, como “tres de cinco” significa el 60 por ciento, entonces, Alicia se quedará con 60 pesos y Raúl con 40.

La manera de justificar esto es lo que habitualmente se hace en los negocios, en donde el dinero se reparte de acuerdo con el capital invertido: quien invirtió 60 por ciento, retira el 60 por ciento de las ganancias.

Sin embargo, esto no agota las posibilidades: si yo fuera el abogado defensor de Alicia (en un juicio imaginario), le diría al juez que a ella le faltaba sólo un acierto más para llevarse todo el dinero. En cambio, a Raúl, le hacían falta dos aciertos para quedarse con el pozo. Si uno respetara esta nueva proporción, Alicia tendría una ventaja de 2 a 1 (ya que Raúl tendría que acertar 2 de 3 para ganar).

En este caso entonces, guardando esta nueva proporción, Alicia se debería llevar el 66,67 por ciento del dinero y Raúl el 33,33. O sea, $66,67 para ella y $33,33 para él.

Espero que usted esté de acuerdo conmigo en que no hay una solución única. Ni mucho menos.

Quiero proponer otra manera de pensar el mismo problema. Uno podría contabilizar qué pasaría si se tirara la moneda una sola vez más.

En este caso, los dos posibles resultados son:

a) 4 a 2 para Alicia (y se lleva todo), o bien,

b) un empate, 3 a 3.

En consecuencia, en este caso Alicia tiene que llevarse un 75 por ciento del pozo. ¿De dónde aparece este número? Surge como promedio entre el 100 por ciento (si gana en la primera tirada) y del 50 que tendría si la pierde. De ahí el 75 por ciento.

Con este análisis, a Alicia le corresponde el 75 por ciento del pozo (50 por ciento de entrada más el otro 25) y a Raúl, sólo el 25. O sea, la división que se hace en este caso es como si fuera una proporción de 3 a 1.

Resumiendo, frente a un resultado de 3 a 2 en favor de la mujer, hemos visto cuatro posibles instancias:

a) Repartir el dinero en partes iguales, como si el juego no hubiera existido.

b) Dividir 60 por ciento para Alicia y 40 para Raúl.

c) Darle el 66,67 por ciento a Alicia, y el 33,33 a Raúl.

d) Darle el 75 por ciento a Alicia y el 25 a Raúl.

¿Qué enseña esto? Es obvio que a uno le gustaría que las veces en las que uno tiene que optar en la vida cotidiana, las situaciones fueran siempre binarias. Es decir, una de las opciones es la que está “mal” y la otra es la que está “bien”. “Blanco” o “negro”. “Correcto” o “incorrecto”.

Sí, todo funcionaría bárbaro: uno tendría que tener una suerte de selector que le permitiera ir eligiendo la opción adecuada cada vez.

Sin embargo, no es así. Basta con haber vivido más de cinco minutos para advertirlo. Las alternativas que planteé más arriba sirven para modelar situaciones reales. No es que lo mejor es hacer de cuenta que no hubo juego, porque lo hubo. No es justo dividir por la mitad, porque Alicia iba adelante y no quiere perder esa condición. Pero, decidir cuán adelante iba, defender sus intereses, sin afectar los de Raúl, no es tarea sencilla, y requiere de acuerdos y compromisos. En definitiva, de eso se trata la vida: de constantes elecciones que uno quisiera tomar en la forma más racional y educada posible. La matemática suele ayudar.

* Este problema fue discutido por Pascal y Fermat en un intercambio de cartas que tuvieron hace más de tres siglos (recuerde que no había Internet hace 350 años). Ambos fueron dos de los pioneros creadores de lo que se conoce con el nombre de Teoría de Probabilidades, y la situación planteada sobre la división justa es uno de los clásicos.

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