CONTRATAPA

Transitividad

 Por Adrián Paenza

No, no me malinterprete: no es un desafío que yo le quiero hacer, sino que le quiero contar una historia que involucra un desafío. Me explico.

Hace unos días, estaba reunido con María Marta García Scarano, la productora general de “Alterados por Pi”, y le propuse un juego que después trataría de replicarlo con estudiantes de las distintas escuelas públicas del país.

Le pedí entonces que consiguiéramos cuatro ‘cubitos’, como si fueran ‘dados’, pero de manera tal que cada cubo fuera de un color distinto y que cada uno tuviera las seis caras ‘en blanco’, es decir, sin que hubiera nada escrito en ellas.

A la media hora, ya teníamos los cubitos encima de la mesa. Por ahora, para poder distinguirlos, los llamamos A, B, C y D.

Le dije entonces que yo habría de numerar las caras de cada uno de ellos, pero no en forma convencional sino que habría de usar números naturales pero con dos particularidades:

a) Los números que aparecerían en cada cara no tenían por qué estar entre 1 y 6, sino que podría elegir cualquier número natural. Por ejemplo, un dado cualquiera podría tener estos seis números en sus caras: (7, 103, 215, 72, 1.450 y 2)

b) También se permiten repeticiones en las caras. Por ejemplo, uno de los dados podría tener estas seis caras: (9, 9, 9, 9, 145 y 145)

Al principio se mostró un poco sorprendida pero al ratito, quedó todo claro: parecen dados convencionales, pero no lo son. Una vez que nos pusimos de acuerdo con estas nuevas reglas, le dije que le habría de proponer un juego, que también le propongo a usted.

Yo habría de numerar los cuatro dados cumpliendo con las especificaciones que expliqué más arriba. Una vez que tuviéramos los dados, ella elegiría primero un dado cualquiera. Después, yo elegiría uno entre los tres que quedaron. El juego consiste en lo siguiente: Empieza María Marta tirando su dado. Después me toca a mí. Si ella sacó un número mayor que el mío, gana ella y se anota un punto. Si no, gano yo, y el punto viene para mí. Como se verá por la distribución de los números que voy a hacer, no hay posibilidades de empate.

Aceptadas las condiciones, empezamos a jugar. Para su sorpresa, a medida que tirábamos los dados más veces, mi puntaje empezaba a ser mayor que el de ella.. y cada vez en forma más evidente. No significa que yo ganaba siempre, pero sí que al acumular tiradas, yo me empezaba a distanciar en el marcador.

Pasados unos minutos, me pidió si podíamos empezar de nuevo que ella quería cambiar el dado que había elegido. Por supuesto, acepté. Una vez que ella tenía su nuevo dado, yo elegí uno de los otros tres... y seguimos jugando.

Después de otros diez minutos, y viendo que volvía a suceder lo mismo, me propuso parar y empezar nuevamente, pero esta vez María Marta quería elegir otro de los dados que no había elegido antes.

Supongo que no hace falta que escriba, que aún así, con el tercer dado (y después con el cuarto), yo volvía a ganar... y le ganaba en forma consistente. Una vez más, y esto es muy importante de observar, yo no le ganaba todas las tiradas. Hubo momentos en que ganaba María Marta, pero lo notable es que al ir acumulando más y más tiros, era evidente que yo había elegido un dado mejor que el que tenía ella.

Naturalmente, lo impactante es que a medida que ella fue cambiando de dado, parecía que ahora sí, ella tenía el dado ganador... ¡pero eso nunca sucedía!

Pregunta: ¿quiere proponerse pensar cómo numerar los cuatro dados para que suceda lo que describí más arriba?

Como verá, no hay una única forma de numerar los cuatro dados. No. De hecho hay infinitas maneras de hacerlo, pero... ¿quiere pensar al menos una de ellas?

Una solución posible

Como siempre, mi aspiración es que usted haya intentado por su cuenta. Si lo que está a punto de hacer (leer una potencial solución) es la culminación de un proceso en donde usted no pudo encontrar lo que buscaba, todo bien... pero si usted no se dio a usted misma/mismo la oportunidad de pensar nada, ¿qué gracia tendría? Más aún: le preguntaría (si estuviéramos juntos)... ¿dónde cree usted que está la mayor dificultad? O mejor aún, ¿cuál es la dificultad? Sigo yo.

Una distribución posible es la siguiente:

Dado A = (5, 5, 5, 6, 6, 6)
Dado B = (1, 1, 7, 7, 7, 7)
Dado C = (3, 3, 3, 8, 8, 8)
Dado D = (4, 4, 4, 4, 10, 10)

Le propondría que usted haga las verificaciones de que estos cuatro dados proveen la solución que buscábamos. ¿Por qué?

Fíjese en la grilla siguiente, en donde voy a ubicar las seis caras de cada uno de los dados, el A y el B. En la primera fila, figuran los números de las caras del dado A y en la primera columna, los números que están en las caras del lado B.

Como usted ve, de las 36 formas de combinar las seis caras de A con las seis caras de B, el dado B gana en 24, o sea en dos de cada tres casos. Un paso más. ¿Qué sucedió cuando María Marta (usted) eligió el dado B? Ella pensó que ahora ella tenía el dado ‘ganador’. Sin embargo, cuando yo tenía el dado B ella tenía el dado A. Yo sabía que ese era un dado que yo no tenía que elegir, y por eso elegí el C. Mire lo que sucedió.

Una vez más, el dado C resulta ganador en 24 de las 36 combinaciones posibles. Creo que ahora usted ya descubrió qué es lo que sucede. Cuando María Marta eligió el dado C, yo elegí el D, y pasó esto:

Otra vez, el dado D le gana al dado C en 24 de las 36 oportunidades. Por último, cuando ella eligió el dado D, yo elegí el dado A y como usted imagina, volvió a pasar lo mismo.

Reflexiones

a) Creo que queda claro que usted podría fabricarse sus propios dados y lograr que pase lo mismo. Más aún: creo que a esta altura usted entiende por qué escribí más arriba que hay infinitas formas de numerar las caras de manera tal de que los resultados sean los que buscábamos.

b) Estos ejemplos ponen ‘a prueba’ una noción que los humanos adquirimos en el colegio y que no siempre es cierta: la transitividad. Es decir, uno supone que si A le gana a B y B le gana a C, entonces A tiene que ganarle a C. Bueno, eso no siempre es cierto. Es una propiedad que hay que verificar si se cumple o no. Por ejemplo, la hermandad es una propiedad transitiva: decir que A es hermano de B y B hermano de C permite concluir que A es hermano de C. Por otro lado, la paternidad no lo es: decir que A es el padre de B y B es el padre de C, no implica que A sea el padre de C. Y los ejemplos siguen.

c) Por último, todos estos juegos forman parte de ‘hacer matemática’, y de aprender a pensar ‘jugando’. No es menor. ¿Por qué no lo hacemos en las escuelas?

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