CONTRATAPA

Eratóstenes

 Por Adrián Paenza


Eratóstenes de Cyrene fue un matemático griego que vivió entre 200 y 300 años antes de Cristo. En realidad, no sólo fue matemático, sino también astrónomo, poeta y músico. Se lo considera también el inventor de la geografía tal como la concebimos hoy como disciplina, fue el primero en usar la latitud y la longitud como sistema de coordenadas sobre la Tierra, fue el primero en medir la distancia entre la Tierra y el Sol, y fue el primero en hablar de años bisiestos. ¿Suficiente, no? (1)

Tal era su prestigio que Eratóstenes (2) fue elegido para ocupar un cargo distinguidísimo para la época: fue el tercero de los directores de la Gran Biblioteca de Alejandría, la más importante de Europa durante muchísimos siglos, algo así como el centro del conocimiento.

Pero, ¿por qué hablar de Eratóstenes acá? Es que Eratóstenes hizo algo espectacular para la época (en realidad, para esa época y para cualquier época): fue el primero en medir el diámetro de la Tierra, para lo cual, obviamente, demostró sin proponérselo que algo que repetimos durante años en la escuela fue obviamente falso: ¡no fue Colón quien descubrió que la Tierra no era plana! Usted nunca se creyó eso, ¿no?

¿No le resulta poco creíble que hasta el año 1492 el mundo no hubiera sospechado que la Tierra no era plana o chata? Bastaba con levantar la vista y mirar al cielo y advertir que todos los objetos que se veían (con o sin telescopio) eran esféricos (ni hablar de la luna, por ejemplo). De hecho Copérnico, por poner solamente un ejemplo, ya había ubicado al Sol en el centro de su sistema planetario, y al resto de los planetas orbitando alrededor de él. Y todos estos cuerpos eran esféricos. ¿No se les ocurriría imaginar que –quizás– el lugar en donde vivían también era esférico, o que tenía volumen?

Vuelvo a Eratóstenes: la historia lo reconoce como el primero en medir la circunferencia de la Tierra (y por lo tanto podía deducir el diámetro) con una precisión sorprendente (3). Lo que quiero hacer acá es mostrar el método extraordinario que utilizó.

Todo lo que hace falta saber para entender lo que hizo Eratóstenes se reduce a tres resultados más o menos elementales que describo acá abajo. Le pido que haga un esfuerzo mínimo para seguirme, porque una vez que lo haya hecho, verá que usted empezará a coincidir conmigo en que no es posible que alguien no lo hubiera hecho antes que Colón. Por supuesto, usted puede saltearse esta parte y creerme lo que sigue más abajo, pero me importa escribirlo para que vea que no se requiere ninguna herramienta sofisticada sino sentido común. Nada más. Acá va.

a) Mire la Figura 1. Los dos ángulos A y C son iguales porque son ángulos opuestos por el vértice (no me va a decir que no se acuerda de ese hecho que estudió en el colegio y nunca entendió para qué servía, pero si no se acuerda, no tiene importancia, ¿me lo cree?)

b) Ahora veamos la Figura 2. Fíjese en la recta de la izquierda. Es paralela a la recta de la derecha. La recta que las cruza a las dos lo hace determinando ángulos iguales. Es decir: el ángulo D es igual al ángulo A y en la Figura 3, el ángulo B es igual al ángulo C. Pero como por la parte (a) tanto A como C son iguales (porque son opuestos por el vértice), entonces todos los ángulos que figuran (A, B, C y D) son iguales. En particular, y esto es lo que me importa (como se verá en la Figura 7), A = B

c) Por último: fíjese en las dos circunferencias que aparecen en la Figura 5. Las llamé C1 y C2. Las dos tienen el mismo centro. Si se fija en el arco que va desde S hasta P, eso representa 1/4 (un cuarto) de la circunferencia C1. Pero de la misma forma, el arco que va desde T hasta Q representa también 1/4 (un cuarto) de la circunferencia C2. Y si usted se fija en la Figura 6, el arco que está marcado en la circunferencia C1 representa el mismo porcentaje de la circunferencia C1 que el arco que está marcado en C2 respecto de la circunferencia C2. O sea, son proporcionales.

Dicho todo esto, ahora quiero contar lo que hizo Eratóstenes. De acuerdo con lo que cuentan los historiadores, Eratóstenes encontró un libro que decía que en la ciudad de Siena (4), había un pozo en el que en cierto día del año y a una hora determinada ¡no había sombra en su interior! Es decir, daba la sensación de que los rayos del sol ingresaban en el pozo en forma perfectamente vertical. A partir de allí, Eratóstenes diseñó el siguiente experimento. En el mismo momento en el que en Siena no había sombra en ese pozo, Eratóstenes clavó una varilla vertical pero en Alejandría y observó que allí sí había sombra. La midió, y con esa sombra calcularía el ángulo de incidencia de los rayos del sol, que se transformaría en un dato clave.

A partir de todos estos datos, es evidente para mí que él sabía (o conjeturaba) que la Tierra tenía que ser esférica, y estaba empecinado en comprobarlo.

Por supuesto, necesitaba también otros datos para que el cálculo fuera correcto. Uno, con el que contaba, es que Siena y Alejandría estaban sobre un mismo meridiano, y el otro, es que Eratóstenes necesitaba saber cuál era la distancia más o menos precisa entre las dos ciudades (Siena y Alejandría). De este último dato se encargaron los distintos viajeros que terminaron siendo asistentes impensados del matemático griego.

Una vez que tuvo todos los datos, Eratóstenes logró calcular la longitud de la circunferencia de la Tierra mediante el siguiente cálculo geométrico (5):

a) Por la sombra en Alejandría, pudo calcular el ángulo A.

b) Por lo que escribí más arriba, el ángulo A y el ángulo B son iguales

c) Cuando Eratóstenes supo cuánto medía B advirtió que había resuelto el problema. ¿Cómo? Acompáñeme en este razonamiento. Una vuelta completa a la circunferencia son 360 grados. Al saber cuánto medía B, podía calcular cuántas veces entraba B en 360. Por ejemplo, si B midiera 30 grados, entonces Eratóstenes hubiera sabido que B entra 12 veces en 360. Pero con ese número, 12 en este caso ficticio, él podía multiplicar 12 por la distancia entre Siena y Alejandría y deducir cuál era la medida del meridiano de la Tierra, y con la medida del meridiano, deducir la medida del diámetro. Y eso fue lo que hizo. Al dividir 360 por los grados que medía B, descubrió ese numerito que le hacía falta. Al multiplicar la distancia entre Siena y Alejandría por ese número, obtuvo la medida del meridiano, y el resto surge de la utilización sencilla de la fórmula que involucra a la longitud de una circunferencia con su diámetro (6).

Moraleja

Una vez que uno se ha familiarizado con lo que hay que hacer y consigue los datos (tarea no sencilla en aquella época en particular), tiene resuelto el problema en forma casi inmediata.

Justamente el hecho de que todo requiera de una matemática tan elemental (igualdad de ángulos alternos internos, proporcionalidad entre arcos y ángulos, y finalmente la fórmula que relaciona la longitud de una circunferencia y su diámetro) me permite conjeturar que Eratóstenes (y seguramente muchísimos otros) supo por mucho tiempo lo que nos quisieron contar como un descubrimiento de Colón.

No tengo por qué dudar de que Colón haya tenido muchísimos méritos, pero no diría que el haber descubierto la esfericidad de la Tierra fuera uno de ellos. Mis opiniones y conjeturas son irrelevantes. Lo que sí importa es saber que la matemática involucrada se conocía ya antes de que el hombre empezara a medir el tiempo como lo hacemos ahora, y por lo tanto en la época de Eratóstenes ya se sabía que la Tierra era un cuerpo con volumen, de forma casi esférica y cuyo diámetro fue estimado (de acuerdo con los registros de la época) con una sorprendente exactitud.

1 Todos estos datos figuran en la biografía que aparece en Wikipedia y también en la famosa Enciclopedia Británica.

2 Eratóstenes es reconocido también en el mundo de la matemática por haber diseñado lo que se conoce con el nombre de Criba de Eratóstenes, que es un método elemental y primitivo, pero muy eficiente para determinar todos los números primos.

3 Depende de qué libro de historia uno consulte, Eratóstenes sostenía que la circunferencia de la Tierra era de 39.690 kilómetros, lo que está a un poco más del 2 por ciento del verdadero valor. El problema reside en que en esa época él medía con unidades que llamaba “estadíos” y el debate reside en saber con precisión cuánto medía un “estadío”.

4 Siena es el nombre en español para una ciudad egipcia conocida como Swenet, en griego como Syene y al día de hoy como Aswan. Hay una Siena un poco más famosa para nosotros, occidentales, que es la ciudad que está en Italia, 70 kilómetros al sur de Florencia. Esta es otra Siena y queda en Egipto.

5 Ahora siga la Figura 7.

6 Longitud de una circunferencia = p x diámetro de la circunferencia.

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