CONTRATAPA

El problema del palomar

 Por Adrián Paenza

Si yo le preguntara: “¿Cuántas personas tiene que haber en un cine o en un teatro para estar seguros de que dos de ellas cumplen años el mismo día?”, usted ¿qué contestaría?

Observe que no digo que hubieran nacido el mismo año, sino que cumplan años el mismo día.

(Sería interesante que usted pensara sola/o la respuesta. En todo caso, ésa es la idea que tengo al escribir esta nota, independientemente del éxito que consiga: despertar su curiosidad y motivarlo a que usted piense sin ayuda, pero con la “red” que significa saber que la “solución” figura más abajo.)

Sigo yo. Por ejemplo: si hubiera dos personas, obviamente no hay garantías de que los dos cumplan años el mismo día. Lo más probable es que no sea así. Pero más allá de “probable” o “improbable”, el hecho es que estamos buscando “seguridades”. Y habiendo “dos personas” en la sala, nunca podríamos estar seguros de que los dos nacieron el mismo día.

Lo mismo sucedería si hubiera tres personas. O incluso diez. O cincuenta. ¿No? O cien. O doscientos. O incluso trescientos. ¿Por qué? Bueno, porque si bien, habiendo trescientas personas dentro de una sala, es muy probable que haya dos que celebren sus cumpleaños respectivos el mismo día, todavía no podemos asegurar o garantizar que sea cierto lo que queremos. Es que podríamos tener la “mala” suerte de que todos hubieran nacido en diferentes días del año.

Nos vamos acercando a un punto interesante (y estoy seguro de que ustedes ya se dieron cuenta de lo que voy a escribir ahora). Porque si hubiera 365 personas en la sala, todavía no estaríamos en condiciones de asegurar que dos cumplen años el mismo día. Podría suceder que todos hubieran nacido en todos los posibles días de un año. Peor aún: ni siquiera con 366 personas podemos asegurarlo (por los años bisiestos). Podría ser que justo las 366 personas que tenemos en la sala cubran exactamente todos los posibles días de un año sin repetición.

Sin embargo, hay un argumento categórico: si en la sala hay 367 personas, no hay manera de que se escapen: al menos dos tienen que haber nacido el mismo día del año.

Claro: uno no sabe cuáles son esas personas (pero ésa no era la pregunta), ni tampoco si hay nada más que dos que cumplen con la propiedad pedida. Puede ser que haya más... muchos más, pero eso no nos interesa. La garantía es que con 367 resolvemos el problema.

Ahora, teniendo en cuenta esta idea que acabamos de discutir, propongo otro problema: ¿qué argumento podemos encontrar para demostrarle a alguien que en la ciudad de Buenos Aires* hay, por lo menos, dos personas con el mismo número de pelos en la cabeza?

Claramente, la pregunta se podría contestar rápido apelando a la gente “pelada”. Seguro que en Buenos Aires hay dos personas que no tienen pelo y, por lo tanto, tienen el mismo número de pelos: ¡cero! De acuerdo. Pero obviemos estos casos. Encontremos un argumento que convenza a quien preguntó y sin apelar al recurso del cero pelo.

Antes de que yo escriba aquí la respuesta, una posibilidad es imaginar que si estoy proponiendo este problema en este lugar, inmediatamente después de haber discutido el problema de los cumpleaños, es que alguna relación debe haber entre ambos. No es seguro, pero es muy probable. ¿Entonces? ¿Alguna idea?

Un dato que creo que ayuda para pensar el problema. ¿Usted tiene idea de cuántos pelos puede tener una persona en la cabeza? ¿Alguna vez se lo cuestionó? No es que haga falta para poder vivir, pero... si uno tiene en cuenta el grosor de un pelo y la superficie del cuero cabelludo de cualquier persona, el resultado es que no hay manera de que nadie tenga más de 200.000 pelos. Y eso sería ya en el caso de King Kong o algo así. Es imposible imaginar una persona con 200.000 pelos. Pero, de todas formas, sigamos con la idea.

Con este dato nuevo ahora, ¿de qué sirve saber que hay a lo sumo 200.000 pelos en la cabeza de una persona? ¿Qué hacer con él?

Y aquí conviene preguntarse: ¿cuántas personas viven –aproximadamente– en Buenos Aires? ¿Alguna idea? De acuerdo con el censo del año 2000, viven 2.965.403 personas en la ciudad de Buenos Aires. A los efectos de la solución del problema, no hace falta tener el dato con tanta precisión. Basta con decir, entonces, que hay más de dos millones y medio de habitantes.

Ahora, ya tenemos todo lo que nos hace falta. ¿Por qué? ¿Por qué con estos datos es suficiente? ¿Por qué este problema es el mismo ahora que el de los cumpleaños? ¿Podrían tener, acaso, todos los habitantes de Buenos Aires un diferente número de pelos en la cabeza?

Creo que la respuesta está clara. Juntando todos los elementos que tenemos (el del número máximo de pelos que una persona puede tener en su cabeza y el del número de habitantes de la ciudad), se deduce que inexorablemente se tiene que repetir el número de pelos entre personas. Y no sólo una vez, sino muchas muchas veces. Pero esto ya no nos importa tampoco. Lo que nos interesa es que podemos contestar la pregunta.

Moraleja: Hemos usado un mismo principio para sacar dos conclusiones. Tanto en el problema del cumpleaños como en el de los pelos hay algo en común: es como si uno tuviera un número de agujeritos y un número de bolitas. Si uno tiene 366 agujeritos y 367 bolitas, y las tiene que distribuir todas, es inexorable que tenga que haber por lo menos un agujerito que tiene dos bolitas. Y si uno tiene 200.000 agujeritos y casi tres millones de bolitas, se reproduce el mismo escenario: seguro que hay agujeritos con más de una bolita.

Este principio se conoce con el nombre de pigeon hole principle, o “principio del palomar”. Si uno tiene un número de nidos (digamos “n”) y un número de palomas (digamos “m”), si el número m es mayor que el número n, entonces tiene que haber por lo menos dos palomas en algún nido.

Una de las cosas que hacen (hacemos) los matemáticos es buscar “patrones”. Es decir, buscar situaciones que se repitan, que se asemejen. Algo así como buscar peculiaridades o propiedades que varios objetos o situaciones tengan en común.

Cuando uno cree que encontró una, trata de reproducir las condiciones en las que sospecha que se generaron y busca sacar algunas conclusiones (que llamamos teoremas). Justamente los teoremas son los que permiten deducir que ante ciertos antecedentes (que llamamos hipótesis) se producen ciertos consecuentes (que llamamos tesis).

* Nota: No hace falta que sea Buenos Aires, obviamente. Basta usar el ejemplo con cualquier ciudad que tenga más de 200.000 habitantes.

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