CIENCIA › JORGE ANTONIO VARGAS, DOCTOR EN MATEMáTICAS DE FAMAF

Grupos de Lie: una teoría que se las trae

El jinete hipotético se ha metido en un lío. O mejor dicho, en un Lie-o, al tratar de desentrañar la función de estas estructuras súper abstractas. Por suerte, pudo desviar el diálogo hacia la existencia de los objetos matemáticos y su filosofía.

 Por Leonardo Moledo

–Usted se dedica a grupos de Lie. Fue homenajeado en el último congreso por su trayectoria en este campo, es profesor emérito de la Universidad Nacional de Córdoba e investigador del Conicet.

–Sí. Me dedico a grupos de Lie, hay una fuerte tradición de estudio en la Facultad de Matemática, Astronomía y Física de la UNC.

–Bueno, le diré que estamos en un Lie-o, porque hay que explicar qué es un grupo de Lie.

–Primero, lo que es un grupo.

–Bueno, intentémoslo: un grupo es una estructura matemática: por ejemplo, si yo agarro todos los números pares. Cualquier suma o resta entre ellos me da otro número par, hay un cero, que también es par y cada integrante del grupo tiene un opuesto: por ejemplo, 20, tiene como opuesto a -20, que sumándolos da cero. ¿Está bien?

–Sí.

–¿Y un grupo de Lie? Eso es más difícil, ¿no? Podemos decir que es una estructura matemática parecida a la de los grupos, salvo por el hecho de que son continuos... ¿me da algunos ejemplos?

–Sirven para estudiar la simetría de objetos, son importantes en geometría, análisis matemático y física. Por ejemplo, en una esfera usted se para en el centro y rota el espacio con centro en la esfera, la esfera permanece invariable. Mientras que si usted toma una cubierta de auto y se para en su centro y rota la perinola en el plano perpendicular al eje del auto, la cubierta permanece invariante. Esos movimientos son ejemplos de elementos de un grupo de Lie.

–¿Por qué Famaf en Córdoba es fuerte en grupos de Lie?

–Después de 1966 prácticamente había dejado de hacerse investigación en la universidad y quienes a partir de 1982 rearmaron el Departamento de Matemática venían de haberse formado en esta área en grupos de Lie en Estados Unidos y los que éramos alumnos aceptamos el desafío de sumarnos y comenzar a investigar en esto. Afortunadamente el balance es que nos ha ido bien, hemos hecho siete congresos.

–Tengo entendido que se usan mucho en física.

–Así es. Cuando se produjeron las dos teorías de mecánica cuántica de Erwin Schrödinger y Werner Heisenberg y se quiso demostrar su equivalencia aparecen los grupos de Lie, es decir volvieron al tapete de la mano de los físicos. Incluso se probó la existencia teórica de algunas partículas de la familia de los hadrones como la partícula Omega por la década del ’60.

–¿Qué más?

–El problema central de la matemática aplicada es resolver ecuaciones diferenciales. Uno modeliza matemáticamente un problema a través de ecuaciones que pueden ser algebraicas o diferenciales. Para calcular las soluciones, lo que uno quiere es simplificar.

–Así es, simplificar.

–La simplificación viene a través de la simetría de la ecuación, o del objeto que uno está estudiando, eso permite intuir cómo serán las soluciones. No hay éxito asegurado pero se pueden intuir propiedades de las soluciones.

–Dicen que el álgebra lineal está un poco de capa caída, ¿la teoría de grupos de Lie cómo está?

–Los grupos de Lie están decayendo, no son un objeto de interés per se, sino por los problemas que pueden ayudar a resolver. En este momento se está estudiando los grupos de Lie hechos con otro tipo de números que son los números p-ádicos. Los números p-ádicos son distintos a los números reales, es una serie de Laurent y forman un cuerpo p-ádico y con eso se arman grupos de Lie. Hay un programa muy vasto, que es el Programa Langlands.

–¿Y cómo se llega hasta este actual programa?

–En la década del ’20 los problemas centrales de teoría de números se reescribieron en otros lenguajes, luego volvieron a reescribirse en la década del ’50, más tarde a principios de los ’70 se presenta un megaplan como el de Langlands, para resolver todos esos problemas y esto incluye entender representaciones de grupos de Lie reales, que ya fueron entendidos, ahora falta entender los p-ádicos. Hay un matemático canadiense muy activo que viene realizando varias conjeturas al respecto, James Arthur.

–¿Cuáles son los problemas que no están resueltos en la Teoría de Grupos de Lie?

–Hay varios. Le menciono uno que viene de la física. En la teoría existe un objeto que se llama representaciones de grupo y allí están los objetos simples y los objetos que se tienen armando simples, que tienen una estructura similar a las moléculas que se arman a partir de los átomos. Un problema que está lejos de estar resuelto es que la física provee gran cantidad de ejemplos de representaciones que los matemáticos hasta hoy día hemos sido incapaces de escribir como suma de objetos simples, ése es un problema central.

–¿Usted cree que estos objetos matemáticos existen en el mundo o sólo viven en nuestra cabeza?

–Algunos existen en el mundo, las rotaciones de la esfera, la simetría de una roseta de una iglesia gótica, la simetría de la estrella de David son grupos de Lie.

–Pero, a ver, la idea de grupo, que se remonta a Galois, ¿existe en la naturaleza?

–Bueno, en el Antiguo Egipto conocían y clasificaron unos 17 grupos, en la Alhambra aparecen nuevamente. Después Bravais, un matemático francés, alrededor de 1880 los escribió en fórmula. A través de los siglos hubo un conocimiento matemático intuitivo, que luego se consolidó en fórmulas.

–¿Quién inventó los grupos de Lie?

–Sophus Lie, un matemático noruego que vivió en la ciudad de Cristiania y estudió ecuaciones diferenciales y geometría diferencial. Por el año 1870 encontró los grupos de Lie como Evariste Galois encontró los grupos de permutaciones de soluciones de ecuaciones. Una de las razones por las que esta teoría sobrevivió en el tiempo, más allá de su valor matemático, es que tuvo el talento de escribir tres buenos libros con toda su matemática. La posteridad lo leyó y lo recuperó por eso, si no se habría perdido. Y es como todos los grupos de ciencia, surgieron, tuvieron su auge, después cayeron un poco en el olvido. Pero sin dudas deja una enseñanza a los investigadores: escribir bien.

–¿Cuénteme, para qué más son útiles?

–En la física son muy útiles, es una nueva herramienta en el desarrollo del nuevo paradigma de las computadoras cuánticas. Si bien todavía no hay ninguna funcionando, usando representaciones de grupos de Lie están desarrollándose softwares para esas computadoras.

–Yo tengo mis dudas, pero... en fin.

–Bueno, hay gente que está convencida de que van a funcionar, ya que es sólo una cuestión de tecnología.

–Volviendo a la existencia de los objetos matemáticos en el mundo... ¿los números existen?

–Sí, uno lo creó Dios, lo demás lo hizo el hombre. Los números naturales, los quebrados existen, yo los veo. Uno, Dos, Tres...

–Pero también la raíz cuadrada de 2, que no es un quebrado, existe porque es una diagonal de un cuadrado de lado 1.

–Sí, para mí existe, aunque es más difícil verlo, porque requiere más imaginación.

–¿Y los números trascendentes?

–Son una invención del hombre.

–¿Quiere decir que el número Pi es una invención del hombre?

–Sí.

–Es raro porque la relación existe. Es una relación muy directa entre el diámetro y la circunferencia. Si uno cree que las relaciones existen en el mundo, tiene que creer que existe el número Pi.

–Bueno puede ser, hay matemáticos constructivistas y para ellos no existe Pi porque no se pueden construir sucesiones de números...

–¿La relación entre la recta real y los números reales es imaginaria?

–Al cabo de los años uno se convence de que son lo mismo. Hay mucho pensamiento detrás de esto, es una cuestión de fe....

–¿Una cuestión de fe? ¿No es mucho decir?

–Yo represento al mundo de esta manera, y desde allí trabajo.

–Los matemáticos somos un poco platónicos, creemos que debajo del mundo hay una estructura matemática y que el mundo responde a esa estructura. Lo que es matemáticamente puede ser físicamente, y lo que no puede expresarse matemáticamente no puede ser físicamente, ¿usted adhiere a esta creencia?

–No tanto, porque hay veces que lo que no es se debe a que no hemos sido capaces de expresarlas matemáticamente. La razón por la que no se llegó es debido a que la matemática que hemos hecho es muy menor a la que podemos llegar a hacer.

–¿Pero el libro de la naturaleza está escrito con caracteres matemáticos? ¿Y exclusivamente matemáticos?

–No sé. Hay una cuestión de interpretación y de cómo miramos la naturaleza. Recuerde a Galileo que durante su proceso decía “yo no cambio el mundo, lo veo de otro modo”. No hay que creerse dueños de la verdad de la naturaleza.

–¿Hay apoyo para la investigación en matemáticas?

–Sí, en la Argentina ha sido bien apoyada. Pero tenga en cuenta que es una comunidad pequeña, que no tiene la dimensión de la de los físicos, los químicos o los biólogos, que en cualquier reunión se juntan mil investigadores. Los matemáticos somos pocos, a las reuniones de la UMA van 100, 150 personas.

–Con todos los problemas que hay con los fundamentos, uno hace matemática prácticamente para todo. ¿Cómo se explica que uno mande un cohete al espacio y llegue?

–Porque el problema de los fundamentos queda restringido y no influye en la matemática que se hace.

–En el ejemplo de poner un satélite en órbita, hay operaciones que involucran al infinito e integraciones con números reales. ¿Qué seguridad tenemos de que los números reales existan? La mayoría de los números son indecibles. El conjunto de los números reales que se pueden decir es un grupo de suma cero.

–El concepto de número real nace por una razón de conveniencia, por 1820 descubrieron que funciona para fundamentar el análisis y el cálculo por ejemplo de la física. Hoy en día, matemáticos como el francés Pierre Cartier están discutiendo otra definición de números reales, que va a ser un conjunto discreto de números, el más grande será el número de Avogadro, entre el cero y el primer número positivo va a haber un hueco. Y creen que aceptando esos números las computadoras van a poder funcionar perfectamente.

–¿La matemática es verdadera?

–Sí, creo que se puede confiar bastante, que la lógica de lo que está hecho es razonablemente correcta. Pero la cantidad de matemática que ha hecho la humanidad es muy poca comparada con la que podemos hacer.

leonardomoledo.blogspot.com

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