CONTRATAPA

Medias blancas y medias negras

 Por Adrián Paenza

Siempre me motiva enfrentar problemas que atenten contra la intuición. Problemas cuya solución no sea trivial. Problemas que me obliguen a imaginar caminos que no son evidentes. En general, creo que son los problemas que educan, entrenan y preparan para la vida cotidiana.

Puede que uno no se tropiece con ninguno de ellos, pero seguro que los caminos que uno desarrolla para pensarlos termina siendo útil. Muchas veces me sorprende alguna idea que sé que no es mía, pero también sé que la tuve que usar en otro contexto y, ahora, en forma impensada, me sirve para otra situación.

Toda esta introducción es para poder presentar un problema en apariencia sencillo (en realidad, es sencillo), pero requiere de una mínima elaboración para llegar a la solución.

Acá va. En un cajón se tienen cuatro medias. No me refiero a pares de medias, sino a cuatro medias en total.

Las medias son de color blanco (B) o de color negro (N). Lo que se sabe es que si uno mete la mano en el cajón y saca dos medias cualesquiera (sin mirar, claro está), la probabilidad de que las dos medias que uno extraiga sean las dos blancas es 1/2. O sea, un 50 por ciento.

La pregunta es: ¿Cuál es la probabilidad de sacar un par de medias negras?

No se apure. Dese tiempo y plantéese algunas alternativas. En general, la primera respuesta que a uno se le ocurre no es la correcta. Por eso es que la/lo invito a que se permita dudar y pensar.

Eso sí. Como siempre, lo único interesante es haber recorrido el camino en búsqueda de la solución. Llegar (o no), suele ser irrelevante.

Solución

Aunque parezca mentira, la respuesta es ... ¡cero!

No parece posible, ¿no? Sin embargo, sígame en este razonamiento y veamos si se pone de acuerdo conmigo.

Llamemos a las medias así: B1, B2, X1 y X2. Las que llamamos B1 y B2 son las dos medias blancas que tiene que haber, si no, no habría posibilidades de tener un par blanco. Las otras dos, no sabemos de qué color son.

Veamos cuáles son las posibles combinaciones:

B1B2

B1X1

B1X2

B2X1

B2X2

X1X2

Como se sabe que la probabilidad de sacar un par blanco es de 1/2, no pueden ser todas las medias blancas (Si no, la probabilidad sería 1. O sea un 100 por ciento.)

Luego, o bien X1 o bien X2, o bien ambas, tienen que ser negras.

Pero para que la probabilidad de sacar dos medias blancas sea 1/2, eso significa que de las seis posibilidades que figuran más arriba, tres tienen que consistir de dos blancas. Por lo tanto, las otras tres no pueden tener dos blancas.

Si X1 y X2 fueran las dos negras, entonces, si uno mira una vez más las seis posibilidades, quedarían estas probabilidades:

2 blancas: 1/6 (B1B2). O sea, un caso favorable sobre seis posibles

2 negras: 1/6 (X1X2). Lo mismo, uno en seis.

Mixtas: 4/6 = 2/3 (B1X1, B1X2, B2X1 y B2X2). En este caso, hay cuatro favorables sobre seis posibles.

Luego, no pueden ser X1 y X2 negras. Veamos qué pasa si una de las dos es blanca, digamos X1 y la otra, X2, es negra.

En ese caso, tenemos los siguientes pares blancos:

B1B2, B1X1 y B2X1. Esto da justo 1/2 de probabilidad de que sea un par blanco.

Veamos los otros tres pares que quedan formados:

B1X2, B2X2 y X1X2. Los tres pares restantes ¡son mixtos! Luego, la probabilidad de que haya un par negro es ¡cero!

Moraleja: Como siempre, es muy poco probable que a uno en la vida le pidan que ponga la mano en un cajón en donde hay cuatro medias, no lo dejen mirar y, encima, le digan que la probabilidad de sacar un par blanco es de 1/2. Casi seguro que no. Pero lo interesante de lo que hicimos más arriba es que uno tuvo que inexorablemente pensar distinto para poder contestar. Y eso, pensar distinto, es lo que a uno lo prepara para enfrentar situaciones inesperadas, que requieren de soluciones no convencionales. Y como tantas otras veces, es la matemática la que provee las herramientas.

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