CONTRATAPA

El costado lúdico de la matemática

 Por Adrián Paenza

Quiero presentar un juego [1]. Es un juego de lógica y tiene un costado detectivesco. No hace falta saber nada de antemano. El único requisito es tener la voluntad de pensar. Y encima es entretenido. Acá va.

En un pueblo arrestan a cuatro sospechosos de haber robado un banco. Los voy a llamar A, B, C y D.

Luego de hacer las investigaciones pertinentes, el jurado tiene estos datos:

1) Si A fuera culpable, B también lo fue.

2) Si B fuera culpable, entonces o bien A es inocente o bien C es culpable.

3) Si D fuera inocente, entonces A tiene que ser culpable y C es inocente.

4) Si D fuera culpable, entonces A también es culpable.

Con estos datos: ¿se puede decidir quién o quiénes de los cuatro fueron culpables (y quiénes son inocentes)?

Antes de avanzar, quiero hacer dos observaciones.

El punto (2) dice que: “o bien A es inocente o bien C es culpable”. Hay que interpretar que por lo menos una de las dos conclusiones es válida.

Es decir, al menos una de las dos afirmaciones (A es inocente, C fue cómplice de B) es verdadera, pero incluso podría pasar que fueran ciertas las dos. Lo que es seguro que NO puede pasar es que ambas sean falsas.

Por último, aunque parezca una perogrullada, prefiero dejarlo escrito (vicios de matemático, supongo): una persona no puede ser culpable e inocente al mismo tiempo.

Obviamente, no hay ninguna trampa. Siéntese en un lugar tranquilo y concédase tiempo para pensar y permítase disfrutar del recorrido.

Solución

Para comenzar, quiero proponerle que hagamos juntos algunas conjeturas.

Tomemos el caso de D. No sabemos (aún) si es culpable o inocente. Por la afirmación (3), si D fuera inocente, entonces se deduce que A tiene que ser culpable [2].

Pero por otro lado, si D fuera culpable, por (4), A también tendría que ser culpable.

Entonces, de las dos reflexiones anteriores hemos deducido que pase lo que pase con D (inocente o culpable) resulta que A ¡tiene que ser culpable!

Sigamos. Como ahora sabemos que A es culpable, por el dato (1) se deduce que B es culpable también.

Usando (2), como B es culpable, quedan dos alternativas: o bien A es inocente, o bien C es culpable. Al menos una de estas dos afirmaciones tiene que ser cierta. Pero como ya sabemos que A no es inocente, entonces no queda más remedio de que C sea culpable.

Resumen: hasta acá hemos deducido que A, B y C son culpables. ¿Qué pasa con D?

Fíjese que de (3) se concluye que si D fuera inocente, entonces tienen que suceder dos cosas simultáneamente: A tiene que ser culpable y C tiene que ser inocente. Pero como ya sabemos que C es culpable, la suposición que involucra el dato (3) no puede ser cierta: D no puede ser inocente. En consecuencia, D es culpable también.

Y esto concluye el análisis. Con los cuatro datos que figuran más arriba, se deduce que ¡los cuatro sospechosos son culpables!

Una reflexión final. No se me escapa que uno nunca tendrá que hacer una evaluación de este tipo al investigar el robo de un banco, pero –obviamente– ésa no es la idea. Lo que pretendo es usar este ejemplo para mostrar cómo uno puede entrenarse a pensar, a conjeturar, a hilvanar ideas, a deducir y a sacar conclusiones un poco más elaboradas, menos inmediatas. Y eso sí que es necesario en la vida cotidiana.

Y de paso sirve para preguntarse por qué este costado lúdico de la matemática no tiene una inserción más evidente en los estadíos iniciales de las escuelas y los colegios.

[1] Hay muchísimas variantes de este tipo de juegos de lógica, popularizados por Raymond M. Smullyan, el célebre matemático nacido en Nueva York en 1919. Smullyan es además mago, concertista de piano, lógico y seguramente algo más que yo no sé. El crédito por este problema le corresponde todo a él.

[2] Se saca además otra conclusión: que C sería inocente, pero eso no es lo que me/nos interesa usar en este momento.

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