CONTRATAPA

La araña y la mosca en una caja

 Por Adrián Paenza

¿Cuántas veces en la vida tiene uno la posibilidad de sorprenderse? A medida que van pasando los años es cada vez más difícil encontrarse con situaciones que se corran de lo común. De eso quiero hablar acá. Es que la matemática provee sorpresas que “atentan contra la intuición”. En general, cuando uno se enfrenta a una situación determinada, reacciona intuyendo lo que debería pasar. Lo conjetura, lo sospecha. Pero, de pronto, la realidad aporta otras ideas, distintas de las que creíamos válidas hasta ahí.

¿De qué estoy hablando? Vea, estoy hablando de un problema del que si bien conozco la respuesta, si bien la veo, la entiendo, me doy cuenta por qué pasa lo que pasa, igual... sigo sin salir de mi asombro, sigo sin poder creer que la solución que a uno se le ocurre de entrada es equivocada. Quizás usted tenga más suerte y encuentre rápido la respuesta correcta. Y estaría muy bien, pero se acabaría rápido el problema. Mi aspiración es otra: me gustaría que a usted le pase lo que nos pasó a casi todos nosotros: errar, equivocarse. ¿Sabe por qué? Porque entonces usted tendrá la curiosidad de descubrir y pensar “dónde está el error de SU razonamiento”, y ésa es la clave: disfrutar de poder descubrir otra forma de pensar las cosas. De eso se trata.

Un dato más: el autor de este problema es el famoso escritor inglés Henry Dudeney (1857-1930). Es obvio entonces entregarle a él todo el crédito. No solo eso: este problema se transformó con los años en una suerte de clásico. Aunque más no sea por eso, le sugiero que le preste atención con cierto cuidado.

Después de tanta introducción, espero que ahora no termine defraudando. Eso sí, léalo con tranquilidad, no lea rápido la solución. En todo caso, yo voy a escribir la conclusión a la que uno llega en forma casi inmediata y voy a señalar que ésa es equivocada. Acá va.

Suponga que usted tiene una caja de cartón, como si fuera una caja de zapatos. Las dimensiones de la caja son las siguientes: 30 centímetros de largo, 12 de ancho y 12 de alto (ver figura 1)

Como usted advierte hay una tapa, un piso, dos paredes laterales que forman un cuadrado (de 12 x 12) y otras dos que forman un rectángulo de 30 x 12.

En un momento determinado, usted advierte que hay una araña (B) en una de las paredes laterales cuadradas de la caja (en la parte interna), ubicada justo a un centímetro de distancia del piso exactamente en la mitad de esa pared lateral, o sea, justo a seis centímetros de cada uno de los bordes.

Del lado opuesto, en la otra pared lateral cuadrada de la caja, también del lado interno, hay una mosca (A). La mosca está justo a un centímetro de la tapa y también exactamente en la mitad de esa pared cuadrada en la que está apoyada, o sea, a seis centímetros de distancia de cada pared lateral más grande (ver figura 2).

Ahora bien: si uno sabe que la araña puede solamente caminar por las paredes internas de la caja, cualquiera de las cuatro laterales o la tapa o la base, ¿cuál es la distancia más corta que puede recorrer para llegar hasta la mosca?

Le sugiero que haga usted su propio dibujo para situarse en el problema. Ah, y tal como me comprometí más arriba, la solución ¡no es 42 centímetros!

De eso se trata entonces: encontrar cuál es la distancia mínima posible que puede recorrer la araña para atrapar la mosca, con el dato adicional de que la respuesta no es 42 centímetros. Ahora le toca a usted.

Solución

Le proponía más arriba que hiciera usted algunos dibujos para poder ayudarse con la “geometría” de la situación. Imagine que la caja es de cartón y usted la puede cortar de diferentes maneras (siempre por los bordes) y dejarla plana arriba de una mesa. Inténtelo usted antes de seguir con la lectura y fíjese si se le ocurren distintos caminos posibles para que la araña pueda alcanzar la mosca.

Cada uno de los cortes que uno puede hacer permite obtener diferentes configuraciones.

En la primera figura, la araña queda a 1 centímetro del borde del rectángulo que corresponde al piso, mientras que la mosca queda apoyada a 5 centímetros del cuadrado (del otro lado). En total entonces, si la araña tuviera que caminar hacia la mosca, tiene que recorrer: 1 centímetro (hasta el borde del piso), más 30 centímetros hasta el otro borde (en un camino perpendicular a lo largo de la base), y después, sumarle 11 centímetros más hasta llegar a la mosca, ya que al haber aplanado la pared en la que estaba la mosca, ella estaba a un centímetro de la tapa superior de la caja, pero ahora quedó a once centímetros de la base. En total, sumando los tres “tramos” tenemos: 1 + 30 + 11 = 42.

Sin embargo, veamos que la distancia se puede mejorar.

Tal como se ve en la figura 2, podemos cortar la caja de manera diferente: ahora los dos cuadrados no quedaron adyacentes al rectángulo que compone el piso, sino que uno de los cuadrados permanece allí, pero el otro queda adyacente a lo que es la tapa superior de la caja.

La araña sigue estando a un centímetro del rectángulo que es la tapa inferior de la caja, mientras que ahora la mosca está a un centímetro de uno de los lados del cuadrado.

Supongamos que uno uniera ahora el lugar en donde quedan la araña y la mosca. Queda un segmento que corta varios rectángulos y los dos cuadrados. De hecho, ese camino corta ¡cinco! de las seis paredes de la caja. Para poder calcular esa distancia, hace falta usar el famosísimo teorema de Pitágoras[1], ya que ese segmento resulta ser uno de los lados del triángulo que forman la araña B, la mosca A y un punto C como se ve en la figura 2.

Calculemos las distancias de B a C y de C a A.

La distancia de B a C se calcula

sumando:

a) 1 centímetro (que es el que hay entre el lugar que ocupa la araña y el lado izquierdo del rectángulo)

b) 30 centímetros (que ocupa el recorrido de un lado al otro del rectángulo, en este caso, es el que representa el piso)

c) 1 centímetro, que es la distancia entre el borde derecho del rectángulo y la ubicación del punto C

Al sumar estos tres valores, se obtiene: 1 + 30 + 1 = 32 centímetros

Ahora, calculemos la distancia entre C y A. Como antes, hay que sumar tres valores:

a) 6 centímetros, hasta la altura en donde está el “techo” del rectángulo que representa al piso

b) 12 centímetros, para alcanzar el borde del siguiente rectángulo (que ahora representa una de las caras de la caja)

c) 6 centímetros, hasta llegar a la mosca.

En total: 6 + 12 + 6 = 24 centímetros.

Ha llegado el momento de usar el teorema de Pitágoras. La distancia que va entre la araña y la mosca (entre B y A) se calcula como la raíz cuadrada de la suma entre los cuadrados de 32 y 24, o sea:

322 = 32 x 32 = 1024

242 = 24 x 24 = 576

La suma de estos dos valores es: 1024 + 576 = 1600.

Ahora hay que calcular la raíz cuadrada de 1600, que resulta ser 40 (ya que 40 x 40 = 1600). Y estamos en condiciones de concluir entonces, que:

“la menor distancia que puede cubrir la araña para llegar a la mosca, es de 40 centímetros”.

¿No es notable este hecho? Además, le sugiero que descubra junto conmigo en el trayecto, como escribí más arriba, que la araña tiene que cruzar.... ¡cinco de las seis paredes internas de la caja!

La intuición indicaba otra cosa. Las arañas descubren el camino más corto sencillamente por intuición, como suele suceder en la naturaleza. Al hombre, también parte de esa misma naturaleza, siempre le queda el recurso de recurrir a Pitágoras... afortunadamente.

[1] En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

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