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Un atentado a la intuición. De eso se trata. Voy a plantear un problema que juega con nosotros, se divierte con uno, porque al leer el enunciado uno sospecha casi inmediatamente que la repuesta tiene que ser una que –en general– no es. Eso genera sorpresa porque al pensar la respuesta, uno se ve forzado a correrse de lo que está habituado a pensar. Supongo que allí comienza la fascinación, por la pelea interna que se produce entre lo que uno cree que tendría que pasar con lo que realmente pasa. Antes del planteo, un par de reflexiones más. La intuición, como cualquier músculo, se entrena. A medida que pasa el tiempo, cuanta más experiencia uno adquiere, está mejor preparado para imaginar soluciones. Se abren nuevos caminos que uno no sospechaba que existían y uno se siente mejor equipado para enfrentar lo desconocido.

Por otro lado, le sugiero que si puede, una vez que haya leído el enunciado, no lea la solución, al menos, no inmediatamente. ¿Qué podría perder si no se le ocurriera la respuesta adecuada? Respuesta: ¡nada! En cambio, si se priva del placer de pensarlo, no solamente se perderá la posibilidad de mejorar su capacidad para intuir, sino que si bien este problema en particular es casi seguro que no le servirá para nada puntual hoy, quizás algún otro día, en un contexto totalmente diferente, habrá en su cerebro algunas neuronas que se conectaron en el momento de pensar esto, que le serán útiles para pensar distinto. En fin, usted decide.

El problema tiene muchísimas versiones. Los primeros que me lo contaron fueron Pablo Coll y Pablo Milrud hace casi diez años. Siempre estuve interesado en escribir sobre él, pero nunca lo hice. Los “Pablos” me insistían en que lo planteara no sólo en Alterados por PI en las escuelas públicas, sino que lo hiciera en Página/12, ante un grupo de lectores más variado. Hoy entonces, ha llegado el momento de cumplir. Acá voy.

Suponga que en un país de ficción, las parejas que viven allí quieren tener hijas mujeres para intentar cambiar la proporción entre varones y mujeres en la sociedad en la que viven. Para eso, votan una ley que dice lo siguiente: en el momento de procrear, si nace una nena, paran de tener hijos. En cambio, si tienen un varón, siguen intentando hasta conseguir una mujer. Allí sí no pueden tener más hijos. La ley es votada y aprobada por unanimidad (acépteme que todo esto es parte de la ficción).

Voy a suponer un par de cosas para no complicar el análisis:

a) la probabilidad de que una madre tenga un varón o una mujer es la misma, o sea, 50 por ciento en cada caso.

b) cada pareja tiene solamente un hijo por vez. No nacen mellizos, ni trillizos, ni hay nacimientos múltiples de ningún tipo.

Ahora sí, la pregunta que quiero hacerle: con la nueva ley en vigencia y con el paso del tiempo y la llegada de nuevas generaciones, ¿cuál terminará siendo la proporción entre varones y mujeres en ese país?

El problema no tiene ninguna trampa, ni nada escondido. Si le hace falta, asuma que en ese país todos viven en condiciones ideales, en donde todos los niños (y niñas) nacen sanos, las parejas pueden seguir procreando en forma indefinida (hasta tener la nena que buscan), etc.

Usted ¿qué cree que va a pasar con el correr del tiempo? Si las parejas que comienzan a tener hijos siguieran todas lo que dice la ley, ¿habrá más mujeres que varones como era el objetivo? ¿O no? Y en todo caso, cualquiera sea su respuesta, ¿por qué?

Aquí es donde yo me retiro y la/lo dejo en soledad. Eventualmente, nos re-encontramos más abajo con algunas reflexiones.

Respuesta

No sé por dónde encaró usted el problema, pero de entrada quiero hacerle una pregunta. Tome una familia cualquiera: en el momento en el que dejen de tener hijos, ¿cuántas nenas puede haber? (Piense usted la respuesta).

Como advierte, habrá exactamente una. ¿Por qué? Es que en el momento en el que dejen de intentar, es porque ya nació una nena, y si no, es porque en el futuro seguirán probando hasta que la nena efectivamente aparezca. O sea, cuando paren de tener hijos, es porque ya tienen exactamente una nena. Mas aún: en el momento en el que tienen “la” nena, paran de procrear, y por lo tanto, “cada familia tiene una nena, y si no la tiene todavía es porque sigue intentando y está en ese proceso que todavía no se interrumpió”. Puesto de otra forma, hay tantas nenas como familias que ya completaron el proceso de “tener hijos”. Eso sí: cada familia puede tener cualquier cantidad de varones. Creo que esta última afirmación es lo que hace “antiintuitiva” la solución a este problema. Sigo.

Supongamos ahora que uno pudiera juntar a todas las madres del país en un recinto (sigo con la ficción, pero creo que a esta altura me lo puedo permitir). Para hacer los cálculos más sencillos, supongamos que son 4000 madres (1). Una vez que están todas sentadas, les pido que hagan lo siguiente. Sígame por acá. Empiezo así: “Todas las madres que tuvieron un hijo varón como primer hijo, levanten la mano”. Como son 4000 madres y se supone que la distribución de sexos es mitad y mitad, de las 4000 hay 2000 que van a levantar la mano: son las que tuvieron un varón. (Le sugiero que usted vaya llevando la cuenta y verá lo que sucede).

Las que no levantaron la mano, son las 2000 restantes. O sea, contabilizando los primeros hijos de todas, hay 2000 varones y 2000 mujeres. La única diferencia hasta acá, es que las 2000 madres que tuvieron un hijo varón tienen la mano levantada. Las que tuvieran una hija, la dejaron abajo.

Ahora les pido a “todas las madres que están acá que las que tuvieron como segundo hijo un varón levanten la mano (o la dejen alzada)”.

Ahora, pensemos juntos, usted y yo: las 2000 madres que no habían levantado la mano después de la primera pregunta, tampoco la van a levantar ahora, porque ¡no tienen un segundo hijo! Es que las que tenían una mujer en cualquier parte del proceso, terminaban de procrear. O sea, no tienen ni segundo, ni tercero, nada... no tienen más hijos y punto.

Luego, de las 2000 que levantaron la mano con la primera pregunta (porque tuvieron un varón), de ellas, la mitad (mil) habrá tenido mujeres y por lo tanto, ahora bajan las manos que tenían alzada. Las únicas que dejan la mano arriba son las mil que volvieron a tener hijos varones (son las que en total tienen, por lo menos dos hijos varones... si no más).

Haciendo la suma (y le pido que por favor la haga), verá que en total tenemos 3000 mujeres (dos mil como primera hija y mil como segunda), mientras que en el caso de los varones, hay dos mil que corresponden a las madres que tuvieron un varón como primer hijo, más las mil que tuvieron como varón a un segundo hijo. Es decir, en este instancia del proceso, hay tantas hijas mujeres como hijos varones: 3000.

Sigo con el pedido a las madres. Como yo sé que las madres que tienen las manos levantadas hasta acá, son las que tuvieron dos hijos varones como primeros dos hijos y por lo que dice la ley, tuvieron que seguir intentando. Eso me dice que siguieron teniendo hijos. Les pido ahora que “dejen la mano arriba aquellas que tuvieron como tercer hijo un varón”. Esto significa que 500 que tuvieron una mujer después de haber tenido dos varones, bajan la mano (y agregan 500 mujeres a las 3000 que ya había) y ahora dejan la mano alzada las 500 mujeres que tuvieron un tercer hijo varón consecutivo.

La cuenta total es así: 3500 mujeres y 3500 varones.

Creo que usted advierte lo que está pasando: en cada paso, se van agregando tantas hijas mujeres como hijos varones. La única diferencia es que las que van teniendo varones siguen intentando hasta llegar a la mujer. No importa cuántos pasos haya que dar, el número de varones y mujeres se mantendrá siempre igual: aumentará, por supuesto, porque las madres que tienen hijos varones volverán a tener más hijos, pero la proporción sigue siendo ¡uno a uno! Si –idealmente– uno pudiera seguir este proceso, fíjese lo que pasaría en el caso de haber empezado con 4000 madres, pero le sugiero que usted haga la cuenta con un número inicial cualquiera y verá que sucede lo mismo:

Acá paro. Hay dos “diagonales” que quedan formadas. Sígalas de arriba hacia abajo, y verá que los números que las componen son (casi) los mismos:

Primera diagonal: 2000, 1000, 500, 250, 125, 63, 30, 16, 8, 4, 2, 1.

Segunda diagonal: 2000, 1000, 500, 250, 125, 62, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

La suma de los números de cada diagonal es cuatro mil. Tuve que hacer un ajuste en el caso del sexto hijo, porque el número 125 es impar, pero esa modificación es irrelevante cuando uno habla de la proporción final.

Moraleja: no importa con qué número de madres usted empiece, si las parejas siguieran procreando cumpliendo con lo que dice la nueva ley, al finalizar el proceso ¡habría la misma cantidad de hombres que de mujeres! Es decir, si la idea era que hubiera más mujeres que hombres, con esta estrategia no lo van a lograr.

(1) Elegí 4000 para hacer las cuentas más sencillas, pero si le resulta más cómodo, o bien ponga usted el número de madres con las que quiere empezar o bien pongamos X de manera tal de cubrir todos los casos.