CONTRATAPA

El juego de los piratas

 Por Adrián Paenza

Quiero presentarle un juego que es conocido desde hace muchísimo tiempo con el nombre de Juego de los Cinco Piratas. Yo elegí una de las múltiples variantes pero todas son esencialmente iguales: se trata de encontrar una estrategia que permita, cuando se cumplen ciertas reglas, ganar siempre.

Una vez conocido el “reglamento” (por ponerle un nombre al protocolo que hay que seguir), el objetivo es que usted elabore un plan que sea óptimo. Claro, la pregunta que surge inmediatamente debería ser: ¿qué quiere decir “óptimo” en este caso? Lo que significaría es que se presentara ante usted otra persona sugiriéndole que tiene una mejor estrategia, usted le mostraría que o bien es el mismo plan que el suyo, o bien el suyo es mejor. Me explico.

Por supuesto, todo lo que sigue es ficticio, una historia creada ad-hoc. Imagine que cinco piratas van en un barco navegando en alta mar con la idea de llegar hasta una isla en donde presumen que hay un tesoro.

En el camino se tropiezan con otra embarcación. La asaltan y descubren que transportaba un cofre con 100 monedas de oro. Trasladan el cofre al barco de ellos y tienen que tomar una determinación: ¿cómo distribuirse las monedas? Entre los piratas tienen establecido un orden que depende de la antiguedad que lleva cada uno en su calidad de pirata. Les voy a poner un número a cada uno: pirata 1, pirata 2, pirata 3, pirata 4 y pirata 5. Entre ellos saben que el pirata 1 es el de mayor experiencia, después sigue el pirata 2... y así siguiendo hasta el pirata 5 (que sería el más nuevo).

El objetivo es encontrar una forma de dividir las 100 monedas entre los cinco pero no de cualquier forma, ni siquiera en forma equitativa. No. De lo que se trata es que se cumplan estas reglas. El pirata con mayor antiguedad (en principio el pirata 1) es el primero en proponer una forma de distribuir las monedas. Esa propuesta es sometida a una votación. Si por lo menos el 50 por ciento de los votos la aprueban, se distribuyen las monedas tal como propuso ese pirata y listo.

Pero si esa propuesta perdiera la votación, entonces el pirata que la formuló es “tirado al agua por la borda” y ahora, quien deberá formular una propuesta es el de mayor antigüedad de los que quedaron. Y así seguirá el proceso hasta que encuentren una estrategia que satisfaga por lo menos a la mitad de los piratas (¡incluyendo el voto del pirata que la formuló!)

Ahora, présteme atención a estos tres datos muy importantes:

a) la primera prioridad de cada pirata es permanecer vivo y arriba de la embarcación

b) la segunda prioridad de cada uno es maximizar el número de monedas que reciba

c) cada uno prefiere que haya la menor cantidad de piratas posible arriba del barco, porque eso –en principio– le permitiría incrementar sus chances de recibir más monedas.

Con estas reglas, el primer pirata que tiene que formular una propuesta es el que lleva el número uno, ya que él es el más experimentado de todos.

Pregunta: Si tiene que cumplir con las reglas que escribí más arriba, ¿cuál tuvo que haber sido el plan que diseñó y propuso para que fuera aprobado en la votación?

Le sugiero que relea todas las reglas y restricciones. Naturalmente, el pirata 1 será el primero en formular la propuesta, y si quiere sobrevivir, tendrá que ser votada por lo menos por la mitad de los piratas en el barco ¡incluido él! Todos quieren sobrevivir y todos quieren conseguir la mayor cantidad de monedas posibles. Ahora sí, le toca a usted. Yo sigo acá abajo.

Antes de escribir una potencial solución, me interesaría ofrecerle algo para pensar. Supongamos que el pirata 1 hizo una propuesta y cuando la puso a votación, perdió. Eso significa que lo tiraron del barco y se quedaron los piratas numerados del 2 al 5. Ahora, imaginemos que pasó lo mismo con las propuestas que hicieron tanto el pirata 2 como el pirata 3. Es decir, se llegaría a una situación en donde solamente quedan arriba del barco dos piratas: el cuatro y el cinco. ¿Qué se le ocurre que sucedería en este caso? (Y a los efectos de encontrar la solución del problema, le propongo que no avance en la lectura hasta no darse la oportunidad de pensar este caso particular.) Fíjese que si quedaran los dos piratas con menor antiguedad, el pirata 4 tiene mayor experiencia que el pirata 5 y por lo tanto será él quien formule la propuesta. ¿Qué cree usted que va a proponer? Lo que va a decir el pirata 4 es:

“La distribución que te propongo es que yo (el pirata 4) me quedo con las cien monedas, y a vos no te doy nada.”

O sea, pirata 4 = 100, pirata 5 = 0.

¿Qué sucede con esto? Cuando tengan que votar, claramente el pirata 4 va a votar por el SI y el pirata 5 va a votar por el NO y eso hace perder al cinco, ya que en las reglas se establece que para que una propuesta sea aprobada tiene que conseguir por lo menos la mitad de los votos. Como son dos votos, y la mitad es uno solo, ese voto le garantizará a el pirata 4 que su propuesta tendrá que ser forzosamente aceptada.

Ya sabemos entonces qué distribución habría en el caso que en el barco hubiera nada más que dos piratas. Ahora avancemos un paso más: supongamos que se llega a una situación en donde quedaron los piratas 3, 4 y 5 en el barco (lo que significa que las propuestas que oportunamente hicieron los piratas 1 y 2 fueron desechadas, y como perdieron en las votaciones respectivas, fueron expulsados del barco y arrojados al agua).

Ahora bien: ¿qué tendría que proponer el pirata 3 para que su propuesta sea aceptada y no correr riesgo de que lo tiren al agua a él también? Como recién vimos que si quedaran los dos últimos al pirata 5 no le tocaría ninguna moneda, para que la propuesta que haga el pirata 3 tenga posibilidades de éxito, él necesitará que alguno de los dos (o el pirata 4 o el pirata 5) le acepten su oferta. Para lograrlo, lo que necesita es ofrecerle una moneda al pirata 5, y ya con eso se garantiza que el pirata 5 le de el voto. ¿Por qué? Es que si los piratas 4 y 5 votan negativamente, entonces el pirata 5 sabe que cuando queden ellos dos, el cuatro no le va a dar nada. Luego, ¡le conviene aceptar la propuesta del pirata 3 para tener por lo menos, una moneda en el reparto!

La propuesta del pirata 3 entonces sería esta:

Pirata 3: 99 monedas. Pirata 4: 0 monedas. Pirata 5: 1 moneda.

De esta forma, el pirata 3 se garantiza el voto de 5, y listo.

Estoy seguro que estos dos casos que planteé (si quedaran dos o tres piratas en el barco para tomar la decisión sobre las monedas), le debe dar una idea de cómo avanzar en términos de elaborar la estrategia. Avancemos un paso más.

Supongamos que quedaran en el barco cuatro piratas. Forzosamente tienen que ser los piratas numerados del 2 al 5. El pirata 1 tiene que haber hecho una propuesta que fue votada negativamente y por lo tanto, fue arrojado del barco. ¿Qué tendría que proponer el pirata 2 para sobrevivir? (¿No tiene ganas de pensar usted por su lado y en todo caso, revisar juntos su respuesta un poco más abajo?)

Los piratas 3, 4 y 5 saben cuál sería la distribución de las monedas en el caso de que quedaran ellos tres:

(99,0,1)

(en donde las 99 son para el pirata 3 y la restante para el pirata 5). Es decir, el pirata 4 sabe que si quedaran en el barco nada más que tres piratas, a él no le van a ofrecer nada.

Usando esta información, le tocaría al pirata 2 hacer su oferta. Para poder conseguir el voto que necesita, le alcanza con convencer a solamente uno de los otros tres (el 3, 4 o 5). ¿Por qué? Es que él necesita nada más que un voto entre esos tres, porque sumado al de él mismo, ya tendría los dos que le hacen falta para llegar al 50 por ciento. ¿Qué tiene que hacer? Le alcanza con fijarse en la distribución que quedaría si él no estuviera allí y ver como puede seducir a alguno de los otros tres para que le den el voto. El pirata 2 descubre que si él le ofreciera al pirata 4 una sola moneda eso debería ser suficiente para convencerlo que le de el voto. Es que si quedaran el 3, 4 y 5, en la distribución ideal, al pirata 4 no le tocaría nada. ¿Qué debería hacer el pirata 2 entonces? Ofrecer esta distribución:

(99,0,1,0)

en donde el pirata 2 se queda con 99 de las 100 monedas y la restante se la ofrece al pirata 4. La conclusión es que si quedaran todos los piratas salvo el número uno entonces la distribución es la ideal u óptima (respetando las reglas pre-establecidas, claro está).

Dicho esto, ahora estamos en condiciones de abordar el caso “final”. Creo que usted tiene las herramientas para poder encontrar ahora la propuesta que tiene que hacer el pirata 1, de manera tal que él obtenga la mayor cantidad de monedas posibles y que su estrategia de distribución ¡sea votada por lo menos por el 50 por ciento de los participantes!

Para que eso suceda, necesita seducir a dos de los otros cuatro piratas. ¿Cómo hacer? Al mirar la distribución, él advierte que a los piratas 3 y 5 no les tocaría ninguna moneda. Es decir, si el pirata 1 no estuviera en el barco, al pirata 3 y al pirata 5 no les correspondería nada. Lo que esto sugiere es que él debería ofrecerles una moneda a cada uno para que le den el voto y listo. De esa forma, conseguiría más del 50 por ciento de los votos que le hacen falta. Entonces, su propuesta es:

(98,0,1,0,1)

De esta forma, al pirata 1 le corresponderían 98 de las 100 monedas, y las otras dos se las distribuyen entre el 3 y el 5.

Moraleja

Como usted advierte, si uno empezara directamente con cuál debería ser la propuesta del Pirata 1, es muy poco probable que a uno se le ocurra el plan, aunque más no sea porque para llegar hasta él, fue necesario recorrer todas las potenciales instancias intermedias. Al pensar qué pasaría si cada uno de los tres primeros (piratas 1, 2 y 3) no estuvieran en el barco, e ir incrementando el número de piratas gradualmente, terminan poco menos que forzando la estrategia necesaria que garantice que se cumplan las reglas: lograr ofrecer una distribución que los otros piratas no puedan rehusar salvo que prefirieran no tener monedas en cualquier otro caso.

Esto no solo resuelve el problema sino que muestra que la estrategia obtenida es la óptima. El mismo camino que usamos sirvió para los dos objetivos: encontrarla y verificar que era la mejor.

Un agregado

Antes de terminar, me interesaría proponerle que –aprovechando de estas ideas que quedaron escritas más arriba– trate usted de generalizar el problema. ¿Qué pretendo decir con “generalizar”? Piense qué sucedería si en lugar de cinco piratas hubiera 10 o 15 o 20. En fin, elija usted qué dirección tomar y ofrézcase a usted misma/mismo la alternativa de seguir pensando. En todo caso, las ideas centrales están expuestas más arriba y estoy seguro que usted ya detectó el “patrón” que servirá para encontrar cualquiera de estas respuestas.

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