CONTRATAPA › MODELOS

Luces encendidas y apagadas

 Por Adrián Paenza

¿Qué quiere decir modelar? Sí, ya sé: hacer un modelo. Pero, ¿cómo se puede aplicar la matemática para resolver un problema práctico?

Es decir: uno tiene un problema cualquiera. Se sienta a pensarlo y no se le ocurre cómo atacarlo. Algunas veces, si uno es capaz de convertirlo en algo que sea más sencillo, que sirva para transformarlo en algo con lo que uno se sienta más cómodo, quizás, en eso reside la vuelta para encontrar la solución.

Un ejemplo. Supongamos que uno tiene un tablero con cierta cantidad de lámparas. Cada lámpara tiene una ubicación numerada en el tablero. Obviamente, cada lámpara puede estar encendida o apagada.

Suponga que es un tablero en un teatro o en una fiesta y uno quiere saber de cuántas maneras diferentes pueden estar encendidas o apagadas las luces. Es decir, ¿cuántas configuraciones distintas puede tener el tablero?

Por ejemplo, si el tablero consistiera de una sola lámpara, entonces, hay dos configuraciones posibles: o bien la luz está o encendida o apagada.

Y aquí empieza la modelación, o sea, quiero empezar a construir un modelo, algo que me ayude a pensar el problema más fácilmente.

Voy a usar el número cero (“0”) si la única luz está apagada, y el número uno (“1”), si está encendida.

Apagada 0

Encendida 1

son las posibles configuraciones.

Si uno tiene ahora un tablero con dos luces numeradas, entonces, ¿cuántas configuraciones posibles hay?

Apagada-Apagada (o sea, 00)

Apagada-Encendida (o sea, 01)

Encendida-Apagada (o sea, 10)

Encendida-Encendida (o sea, 11)

Luego, se tienen cuatro posibles configuraciones:

00

01

10

11

Si ahora, se tuvieran tres luces numeradas en el tablero, tendríamos

000

001

010

011

100

101 (*)

110

111

O sea, ocho configuraciones.

Resumen:

1 luz 2 = 21 configuraciones

2 luces 4=2 x 2=22 configuraciones

3 luces 8=2 x 2 x 2=23 configuraciones

Antes de avanzar, lo invito a que usted (sí, usted... sola/solo, piense cómo seguir). ¿Qué pasará cuando uno tenga cuatro lámparas numeradas en el tablero?

La idea es no sólo encontrar la solución que sirva para cuatro lámparas, sino una manera de abordar el problema que nos sirva para siempre, para cualquier número de lámparas que pudiera llegar a tener el tablero.

Fíjese. Si tuviéramos cuatro lámparas, supongamos que la cuarta está apagada, o sea que tiene un cero en el último lugar; entonces, ¿qué puede pasar con las configuraciones para las tres primeras? Esa respuesta ya la tenemos, porque son las que figuran en (*).

Es decir, que todo lo que habría que hacer sería agregarles un cero al final, a las que figuran en (*), para tener todas las configuraciones para cuatro lámparas pero con la última apagada. Se tiene entonces

0000

0010

0100

0110

1000

1010 (**)

1100

1110

Por otro lado, como usted ya se imaginó, van a aparecer otras ocho configuraciones, que se obtienen de las que había en (*), pero ahora, cuando la última luz está encendida. O sea, cuando terminan en un uno. Se tiene,

0001

0011

0101

0111

1001

1011 (***)

1101

1111

A propósito, resalté el número cero y el número uno, para que se vea que las tres primeras posibilidades corresponden a las que teníamos en (*), pero mientras las primeras ocho corresponden a las que terminan en cero, las segundas ocho corresponden a las que terminan en uno.

¿Cuál es la moraleja de todo esto? Que cuando uno tenía tres lámparas, había 23=8 configuraciones, y no bien agregamos una lámpara más, ahora hay que multiplicar por dos lo que había antes (porque corresponde a agregar un 0 o un 1 al final).

Es decir, que cuando se tienen cuatro lámparas, el número de configuraciones posibles es el doble de las que había con tres lámparas (como este número era 23=8, ahora hay 2x23=24=16)

Y ahora creo que se entenderá por qué, si uno tiene un tablero con cinco lámparas, tendrá

2x24=25=32

configuraciones, y así siguiendo, si uno tiene cien lámparas, el número de configuraciones es 2100.

Es decir, ahora, el problema está resuelto para cualquier número de lámparas, y la modelización con ceros y unos nos permitió pensar más fácil un problema no difícil, pero sí tedioso y aburrido.

Y esto es justamente, otra tarea de los matemáticos: “modelar” y hacer más sencillos problemas no necesariamente complicados sino “tediosos” de abordar. Y de paso, encontrar soluciones lo más generales posibles para no tener que pensar cada vez, cada caso particular.

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