CONTRATAPA

Juego del 15

 Por Adrián Paenza

Uno de los juegos que más adeptos tuvo en la historia de la humanidad, es el que se conoce con el nombre de “Juego del 15”. Consiste en lo siguiente. Se tiene un cuadrado de 4 x 4 en el que están dispuestos los primeros 15 números de la siguiente manera:

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15

Es decir, cuando uno compraba el juego original, obtenía en la caja ese “cuadrado” de madera, con quince piezas móviles y un lugar vacío (el que correspondería al número “dieciséis”). Uno “desarregla” el original hasta llevarlo a una posición que considere lo suficientemente complicada para que otra persona pueda rastrear lo que hizo, y lo desafía a que “ordene” los cuadrados como estaban al principio.

Antes de avanzar, un poco de historia: este problema fue “inventado” por Samuel Loyd (conocido como Sam Loyd) (1841-1911), quien fue uno de los más grandes creadores de “entretenimientos con ligazón matemática” que se conoce. El “Juego del 15” o el “Dilema del 15” apareció recién en 1914 en un libro que publicó el hijo de Loyd después que muriera su padre. En realidad, él ya lo había diseñado en 1878.

En general, mucha gente o casi todos, con un poco de paciencia, podían resolver los problemas que surgían al “desordenar” la distribución original. Pero la novedad la impuso al propio Loyd, cuando ofreció mil dólares a quien pudiera volver a la posición inicial la siguiente configuración (obviamente, con movimientos “legales”) es decir, deslizando los cuadraditos en forma horizontal o vertical ocupando alternativamente el que está vacío. El cuadrado que propuso Loyd fue este;

2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 15 14

Si uno mira bien descubre que la única modificación respecto del original, es que los cuadrados 15 y 14 están permutados. Pasaba el tiempo y nadie podía reclamar el premio y por supuesto se cuentan las historias más increíbles de gente que se pasaba el tiempo sin concurrir a sus trabajos, gente que no dormía, desesperados buscando la solución y el dinero de la recompensa. Loyd sabía por qué estaba dispuesto a arriesgar esa cifra. Es que él sabía que el problema no tenía solución. Aunque parezca una tontería, el problema tiene raíces muy profundas en la matemática. Para poder entender un poco por qué no se puede resolver, quiero mostrar con un ejemplo más sencillo, donde residen las dificultades insalvables. Aquí va: supongamos que en lugar de tener el cuadrado de 4 x 4 que teníamos más arriba, tenemos uno de 2 x 2, que replica el juego del 15, pero esta vez, se debería llamar “el problema del 3”, porque si uno reduce las dimensiones queda así:

1 2

3

Esta es la que vamos a llamar posición inicial. Para reproducir la pregunta que hizo Loyd, nos preguntamos si se puede llegar a la siguiente,

2 1

3 ? (*)

Yo quiero dejarlo/a un ratito solo/a con su conciencia, papel, tiempo y lapicera. Y ganas de pensar. Cuando decida que ya fue suficiente, siga conmigo más abajo. La respuesta es que no se puede. Pero, ¿por qué no se puede? Generemos todos los posibles movimientos que se puedan obtener a partir de la posición inicial.

Se obtienen:

1 2 1 2 2 2 2 3 2 3 3 3 3 1 3 1 1 1

3 , 3 , 1 3 , 1 3, 1 , 1 , 2 1 , 2 1 , 2 , 2 , 3 2 , 3 2

Es decir, en total se tienen doce posibles configuraciones. Y ninguna más. Ahora, fíjese en lo siguiente: si uno se para en el número 1, y recorre los cuadraditos en el sentido de las agujas del reloj (eventualmente salteando el lugar vacío), se tiene la configuración {1,2,3}. Siempre. Es decir, el orden relativo entre los números 1, 2 y 3, no se altera. Luego, si uno tiene una configuración como la propuesta más arriba en (*)

2 1

3

uno tiene razones para decir que esa posición no se puede alcanzar por movimientos legales a partir de la inicial. ¿Por qué? Primero, porque recién analizamos exhaustivamente todas las posibilidades, y esta última no está. Por otro lado, otro argumento que uno podría dar (y que va a servir sin tener que escribir todas las posibles configuraciones) es que si uno se para en el número 1 y recorre los cuadraditos en sentido horario, no se tiene ahora la distribución {1,2,3} como antes, sino que se tiene {1,3,2}. O sea, esta última posición, la que aparece en (*), ¡no es alcanzable desde la inicial!

En este caso, la/lo invito a que haga el recorrido por todas las que sí se pueden recorrer empezando por la que figura en (*).

2 1 2 1 1 1 1 3 1 3 3 3 3 2 3 2 2 2

3 , 3 , 2 3 , 2 3, 2 , 2 , 1 2 , 1 2 , 1 , 1 , 3 1 , 3 1

Lo que se ve entonces, es que ahora hay otras doce posiciones y que ahora sí quedan cubiertos todos los posibles casos. Además, si uno recorre en sentido horario cualquiera de estas últimas doce, si uno empieza parándose en el número 1 otra vez, la configuración que se tiene siempre es {1,3,2}.

Y ahora sí podemos sacar algunas conclusiones. Si se tienen tres números y un cuadrado de 2 x 2, entonces hay en total veinticuatro posibles configuraciones. Esas veinticuatro se pueden agrupar en dos órbitas, por llamarlas de alguna forma. ¿Cómo identificarlas? Una órbita es la que –al recorrerla– tiene la configuración {1,2,3}, mientras que la otra órbita, es la que al recorrerla tiene la configuración {1,3,2}. Y con esto, se agotan las posibilidades. Lo interesante del juego entonces, es que no se puede pasar de una órbita a la otra. La pregunta que sigue entonces es: ¿se puede saber sin tener que escribirlas todas si una dada configuración está o no está en la órbita original? Yo le sugiero que piense un rato esta respuesta, porque ilustra mucho sobre lo que hace la matemática en casos como éste.

Pero una vez que usted decidió seguir leyendo, le propongo lo siguiente: en lugar de escribir las distintas configuraciones como hice hasta acá, las voy a escribir así: (1,2,3) (en donde no importa en qué lugar está el lugar vacío, lo que sabemos que importa es el orden relativo que tienen al leerla en sentido horario). Por ejemplo (1,2,3) y (3,1,2) están en la misma órbita. En cambio (3,1,2) y (1,3,2) no. ¿Se da cuenta por qué? Es que al leer la última, empezando en el 1, el orden en el que aparecen los números no es correlativo como en el caso de la primera.

Algo más. Si uno tiene (3,1,2) y “cuenta” cuántas veces aparece un número mayor antes que uno menor, hay dos casos: el 3 está antes que el 1, y el 3 está antes que el 2. Es decir, hay dos inversiones (así se llaman). En el caso del (3,2,1), hay tres inversiones, porque se tiene: el 3 antes que el 2, el 3 antes que el 1 y el 2 antes que el 1. Es decir, el número de inversiones puede ser un número par o impar. Lo que uno hace, es agrupar las ternas que tenemos, de acuerdo a que el número de inversiones sea justamente par o impar.

Y esta es la gracia. Todas las que pertenecen a una órbita, tienen la misma paridad. Es decir, las de una órbita o bien tienen todas un número par de inversiones o tienen todas un número impar de inversiones (lo invito a que revise lo que escribí antes para cada órbita y haga la cuenta).

Y esto soluciona el caso original que planteó Loyd. Si uno mira el ejemplo que él propuso (el que tenía el 14 y el 15 invertidos), verá que el número de inversiones es uno (ya que el único número mayor que uno menor, es el 15 que está antes que el 14). En cambio, en la configuración original, no hay inversiones, o sea, los dos casos no están en la misma órbita y por lo tanto, el problema planteado, no tiene solución. Loyd lo sabía y por eso, ofreció los mil dólares a quien lo resolviera. No había riesgo. Pero lo interesante entonces, es que uno, frente a un problema que parece ingenuo, apela a la matemática, para saber que no tiene solución, sin tener que recurrir a la fuerza bruta de intentar e intentar, sin saber si es uno el que se está equivocando y otro va a llegar antes que uno, o es que el problema no tiene solución y no importa cuánto uno intente, nunca nadie va a llegar, ni antes, ni después.

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