CONTRATAPA

Estrategia

 Por Adrián Paenza

Tengo un desafío para hacerle. Verá que es entretenido y atenta un poco contra la intuición. En definitiva, es una suerte de juego, pero si es así, juguémoslo con seriedad, como si fuéramos profesionales de esto. Acá va. Usted tiene que elegir cien números cualesquiera. La única condición es que sean todos distintos, cien números diferentes. No importa cuáles, pueden ser grandes, chicos, positivos, negativos, cero, los que usted quiera. Una vez que los eligió, escriba cada uno en una hoja de papel distinta, un número por hoja. Mézclelos y póngalos boca abajo. Obviamente, entre los números que usted eligió tiene que haber uno que sea el más grande de todos, el mayor de todos. Como yo no vi los números que usted eligió, es obvio que yo no tengo idea de cuál es el tal número.

Justamente el desafío consiste en lo siguiente: yo voy descubrir cuál es el mayor sin tener que darlos vuelta todos. Y le hago una apuesta (virtual, por supuesto): si yo gano, usted me tiene que dar diez pesos. Si yo no acierto, yo le tengo que pagar un peso. Claro, hay una diferencia grande en lo que gana cada uno, pero es lo mínimo que puedo pedir, teniendo en cuenta la dificultad de la tarea, ¿no le parece?

Acá va el camino que vamos a seguir: yo voy a empezar dando vuelta uno de los papeles. Si yo creo que el número que allí figura es el más grande, paro allí y le digo que me quedo con ese número. Si gano, usted me tiene que dar diez pesos. Si pierdo, usted me tiene que mostrar un número mayor entre los que yo no di vuelta y entonces yo le pago un peso a usted.

Sin embargo, podría pasar que yo dé vuelta el primer número y no me detenga en ése, sino que elija pasar a otro cualquiera que todavía no vi. Paro en el segundo si creo que es el más grande y si no, sigo con otro.

Por supuesto, también podría pasar que, en algún momento, yo me hubiera “pasado” el número más grande, y ya no lo pueda encontrar. En ese caso, ya no puedo volver atrás. Cada vez que doy vuelta una hoja, pierdo la posibilidad de elegir cualquiera de los que ya vi. Esos quedan fuera de competencia.

Obviamente, si se me permitiera volver para atrás, podría darlos vuelta a todos y luego elegir cuál es el mayor. No. Cada número que yo veo, tengo que decidir en ese momento si es el más grande o si quiero seguir “mirando”. Podríamos ponerlo en otros términos: se trata de que yo decida cuándo tengo que “detenerme”, cuándo tengo que “parar” de mirar.

¿Qué le parece? ¿Tiene ganas de aceptar? ¿Habrá alguna manera que permita tener alguna probabilidad razonable de poder ganar?

Algo para pensar: si yo diera vuelta una hoja cualquiera, la probabilidad de acertar es 1/100 (un centésimo). ¿Por qué? Es que como hay cien hojas y yo no tengo ni idea de qué número hay en cada una, la probabilidad de acertar es uno en cien. ¿Habrá alguna manera de mejorar esa probabilidad? Por supuesto, la única manera posible de tener un ciento por ciento de garantías de encontrar el número más grande es dando vuelta todos, pero el desafío que le propongo intenta mejorar ese uno por ciento de posibilidades que tengo si doy vuelta una hoja cualquiera al azar. ¿Se podrá?

Ahora le toca a usted. Yo sigo más abajo.

Obviamente, no sé qué ideas fue discutiendo usted con usted mismo, pero le voy a contar mi estrategia, la que voy a utilizar acá. Empiezo a dar vuelta las hojas y miro los números que van saliendo. Cuando llegué a dar vuelta 50 hojas, me detengo un momento y anoto el número mayor de todos los que di vuelta. Lo voy a llamar S.

Claramente, S no tiene por qué ser el número mayor de los que usted eligió, pero es el mayor de todos los que yo vi hasta allí. Igualmente, no lo podría elegir, porque yo ya pasé por ese número y no me detuve, o sea, que si ese número resulta ser también el mayor entre los cien, ya perdí.

Pero supongamos que no. Como decía más arriba, me quedo con ese número S que es el mayor entre los 50 que vi. Ahora sigo dando vuelta números del grupo de 50 hojas restantes.

Si en algún momento encuentro un número mayor que S, me paro y elijo ese número como mi candidato. Lo voy a llamar M. A partir de aquí, ya no sigo más. Este número M será el que yo le presente como mi ganador.

Pero, como usted está pensando, bien podría suceder que no encontrara ningún número mayor que S en el segundo grupo. ¿Qué pasa entonces? Bueno, entonces perdí. Sin embargo, si el número S fuera el segundo número más grande de los que usted eligió y el mayor de todos quedó en el segundo grupo de 50, entonces sí, yo lo voy a encontrar y voy a ganar la apuesta. ¿Qué le parece mi idea?

Por ejemplo. Supongamos que el número mayor que usted eligió es 147, y el que le sigue es 123. Supongamos además que el número 123 quedó en el primer grupo de 50 hojas que yo voy a dar vuelta, y el 147 queda en el segundo. En este caso, yo voy a ganar seguro, porque al dar vuelta las primeras cincuenta hojas, el número 123 quedará como el más grande de esos números. El número S sería igual a 123. Pero, por otro lado, como entre las restantes 50 hay solamente una que es mayor que 123, cuando la encuentre, ése tendrá que ser el número mayor de todos: el número M será igual a 147. Por supuesto, éstas son condiciones ideales para que funcione mi estrategia. Yo necesito que el segundo mayor (S) quede entre las primeras cincuenta, y el mayor de todos (que llamo M) quede entre las segundas cincuenta hojas. En ese caso, yo gano.

Ahora bien: ¿cuál es la probabilidad de que estos dos sucesos ocurran simultáneamente? Acompáñeme con esta idea. ¿Cuántas posibilidades hay para S y para M?

Podrían suceder estos cuatro casos:

a) M y S están en el primer grupo de 50.

b) M está en el primer grupo y S está en el segundo.

c) S está en el primer grupo y M está en el segundo.

d) M y S están los dos en el segundo grupo de 50.

Para que yo gane, tiene que ocurrir el caso (c). O sea, de los cuatro casos posibles, solamente uno me es favorable. En ese caso, la probabilidad es 1/4, o lo que es lo mismo, un 25 por ciento de posibilidades. Una observación más: ¿es razonable que si yo gano usted me pague $10 mientras que si pierdo yo, le pague un peso a usted? ¿Qué le parece? En un mundo ideal, de cada cuatro veces que juguemos, yo ganaría una sola y usted las otras tres. Por lo tanto, yo tendría que haberle pagado 3 pesos y usted me tendría que haber dado 10. Conclusión: ¡a mí me conviene seguro! A usted, no creo.

Por último, con esta estrategia, espero haberla/haberlo convencido de que la probabilidad de que yo gane es una de cada cuatro veces. Pero hay más: la estrategia se puede mejorar más aún. Dos matemáticos de la universidad de Harvard, John Gilbert y Frederick Mosteller, probaron que no hace falta mirar las primeras 50 hojas y quedarse con el mayor entre ellas, sino que es suficiente mirar 37. Sí, treinta y siete. Habría bastado, entonces, elegir el mayor de los números entre los primeros 37 y luego, empezar a revisar uno por uno los que siguen hasta encontrar el primer número que supere al que elegimos entre los primeros 37.

Moraleja: al principio parecía que no había manera de mejorar las chances de tener más que un uno por ciento de posibilidades de éxito. Sin embargo, la matemática interviene para aportar nuevas ideas y como tantas otras veces, permite tomar una decisión más educada. No es poco.

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