CONTRATAPA

Para pensar

 Por Adrián Paenza

¿Cuántas veces le pasó que usted ve una grilla al estilo Sudoku o un tablero con letras y/o números que se supone que uno tiene que completar e inmediatamente decidió pasar de largo? Posiblemente muchas o quizá todas las veces. Entonces, este artículo puede ser para usted.

No se preocupe: no pretendo que cambie sus hábitos pero quisiera invitarla/invitarlo a contestar una pregunta: ¿no le da curiosidad saber qué es lo que pueden tener este tipo de problemas que aparecen publicados en diarios y revistas en todo el mundo? Algo deben tener. ¿Qué es?

Bien. Esto que sigue pretende mostrar cuál es la lógica que subyace detrás de todos ellos. Por supuesto, no tengo la expectativa ni esperanza de poder englobar a todos los problemas de este tipo, pero sí quisiera mostrar en qué consisten, qué es lo que hay que hacer para resolverlos más allá de leer las instrucciones que suelen ser –en general– muy sencillas. Es decir: ¿qué es lo que uno tiene que hacer? ¿Cómo se empieza y por dónde?

Fíjese en el siguiente cuadrado de 5 x 5. Contiene 25 casillas. La mayoría están vacías con ocho excepciones: todas las de la primera fila y tres de la tercera. Si se fija con un poco más de cuidado, en la primera fila aparecen cinco letras distintas: P, R, I, M y O. Y en la tercera, aparecen solamente tres de ellas: I, M y O.

Le pido un favor: si llegó hasta acá, no abandone ahora. Deme una oportunidad más. Si logra llegar hasta el final, se habrá otorgado a usted misma/mismo la chance de aprender algo nuevo. No será esencial en su vida ni la cambiará de manera visible, pero se agregará un condimento más: será capaz de entender de qué hablan los que hacen Sudokus o problemas equivalentes. Y como verá dentro de un instante, no había (ni hay) nada estrambótico ni alejado de sus posibilidades.

Una cosa más: créame que son problemas no sólo muy entretenidos, sino que –a diferencia de las palabras cruzadas, por ejemplo– no hace falta saber NADA, no se requiere NINGUN conocimiento previo. Todo lo que uno necesita es saber... pensar.

Ahora sigo con el problema. En principio, en cualquier grilla como la que figura más arriba hay cinco filas, cinco columnas y dos diagonales (1). Si usted estuviera en la sección de Entretenimientos de un diario y/o revista, aparecerían las siguientes instrucciones:

“Complete las casillas que faltan usando las cinco letras (P, R, I , M y O) pero cumpliendo estas restricciones:

a) Cada una de las cinco letras tiene que aparecer UNA SOLA vez en cada fila. O sea, no hay letras repetidas en ninguna fila.

b) Cada una de las cinco letras tiene que aparecer UNA SOLA vez en cada columna (no hay letras repetidas en ninguna columna).

c) Cada una de las cinco letras tiene que aparecer UNA SOLA vez en las dos diagonales (la que va del extremo superior derecho al inferior izquierdo y la que va del extremo superior izquierdo al extremo inferior derecho).” (No hay letras repetidas en ninguna de las dos diagonales.)

Puesto en estos términos, parecería como que lo que uno tiene que hacer es probar y/o adivinar. Pero no es así. Si me acompaña en lo que sigue verá cómo se puede DEDUCIR (con mayúsculas) la única solución que tiene el problema. Verá que usted avanzará haciendo conjeturas y descubriendo qué letra tiene que ir en cada lugar. Le permitirá entender la potencia que usted tiene y que no siempre usa: su capacidad para elaborar una estrategia (o sea, hacer matemática).

Ahora voy a empezar a hilvanar algunos razonamientos. Fíjese en la segunda columna, la casilla que figura debajo de la letra I. ¿Qué letra puede ir allí? Como en la segunda columna ya figuran las letras R e I, estas dos están descartadas. Quedan P, M y O. Pero si usted se fija, esta casilla forma parte también de la diagonal que va de derecha a izquierda, de arriba abajo y que empieza en la letra O. Si usted recorre esa diagonal, verá que las letras O y M ya están usadas también, y por lo tanto, la UNICA alternativa es que en esa casilla vaya la letra P. ¿Me siguió hasta acá? No avance si se perdió en el camino porque lo UNICO que interesa es que usted haya podido descubrir (junto conmigo) que en esa casilla TIENE que ir la letra P.

Eso ya significa un gran avance. Implica que en la segunda columna ya tenemos ubicadas tres letras: R, I y P. Faltan la M y la O. Tengo una pregunta entonces: ¿qué letra cree que debería ir ubicada en la casilla que está en la segunda fila y la segunda columna, la que está debajo de la R? (Tómese tiempo para pensar y verá que lo va a deducir usted en soledad.)

Efectivamente, la letra que debe ir allí es la O, porque esa casilla forma parte no sólo de la segunda fila y la segunda columna, sino que también es parte de la diagonal que va de izquierda a derecha (y de arriba abajo). Por lo tanto, como la M ya está en esa diagonal, la única letra que puede ir allí es la O.

Con este paso, ya tenemos ubicadas cuatro letras en la segunda columna (de arriba abajo): R, O, I y P. Falta una sola: la M. Luego, ubicamos la M en la quinta fila, segunda columna y ya tenemos la columna completa.

De la misma forma, fíjese lo que debe suceder en la tercera fila. Allí ya hay ubicadas tres letras: I, M y O. Luego, quedan únicamente por poner la P y la R, que pueden ocupar la primera y la última casilla de esa fila. Pero si usted observa lo que sucede en la primera columna, ya hemos usado la letra P (en la primera fila). Luego, como la P no puede ir allí, entonces, la única letra que puede ir en la tercera fila (primera columna) es la R. En esa fila entonces, queda una sola letra por ubicar, ya que usamos la R, I, M y O. Falta la P, que va en la última columna de esa tercera fila.

Hasta acá, entonces, tenemos la grilla así:

Si me siguió hasta acá, habrá notado que no hubo necesidad de apelar a nada que no fuera conjeturar qué letras podrían ir en cada casilla y descartar las que violarían las restricciones que se piden.

Con esta nueva grilla, ahora el camino debería ser más sencillo. ¿No le da curiosidad ver si lo puede completar usted sin mí? Inténtelo. Yo sigo acá abajo.

Fíjese ahora en la primera columna, la última fila. Esa casilla forma parte no sólo de la primera columna, la quinta fila, sino también es parte de la diagonal que va desde la casilla superior derecha hasta la inferior izquierda. Esa diagonal tiene –por ahora– tres letras ubicadas: P, M y O. Faltan la R y la I. Pero ya usamos la R en la primera columna. Luego, como ya no la podemos usar, la única que puede ocupar esa casilla es la I. Para completar esa misma diagonal, ahora hemos usado cuatro letras: I, P, M y O. Falta solamente la R. La ponemos en la segunda fila, cuarta columna (debajo de la M).

Ahora advierta lo que pasa en la otra diagonal, la que va de izquierda a derecha. Esa diagonal tiene ya tres letras: P, O y M. Faltan la R y la I. Esas letras deberían ubicarse en las dos casillas que restan. Pero en la casilla que está en la cuarta fila y cuarta columna no puede ir una R porque la acabamos de usar en la segunda fila. Luego, en la cuarta fila y cuarta columna debe ir una I, y por lo tanto, a la cuarta columna sólo le falta una letra (ya usamos las M, R, O e I): la P.

Lo que resta es mucho más sencillo. A la diagonal que va de izquierda a derecha (de arriba hacia abajo), sólo le falta la R (que va en la casilla que está en la quinta fila y quinta columna), y por lo tanto, en la casilla que está en la quinta fila y tercera columna hay que poner una O (porque es la única que queda). A la primera columna le faltan dos letras: la M y la O, pero en la casilla que está en la primera columna y segunda fila no puede ir la O, porque ya aparece en la segunda fila. Luego, debe ir la M, y luego, en la cuarta fila de la primera columna, hay que usar la O.

Para terminar, en la casilla de la tercera columna y cuarta fila, debe ir una letra R (porque faltan la R y la P, pero la P ya está usada en la segunda columna) por lo que hay que ubicar la P en la segunda fila de la tercera columna. Lo único que resta es completar la quinta columna, pero con la ventaja de saber que la segunda, tercera y cuarta filas tienen ya cuatro de las cinco letras ubicadas. De esa forma, terminar la grilla es inmediato y queda así:

Moraleja: las ideas que usé (usamos) para completar esta grilla son las que se usan para resolver cualquiera de los Sudokus (2). Por supuesto, hay algunos que son un poco más complicados y los razonamientos que hay que hacer son un poco más elaborados, pero no difieren en nada de lo que hicimos acá arriba.

Para el final tengo una pregunta para usted. Si me siguió hasta acá, ¿no cree que usted está en condiciones de resolver cualquier tipo de problemas de este tipo? Le anticipo la respuesta: ¡no tenga la menor duda! Usted tiene las herramientas necesarias. Lo único que hace falta es tener la voluntad para usarlas.

1) La que va desde el extremo superior derecho hasta el inferior izquierdo, y la que va desde el extremo superior izquierdo, hasta el inferior derecho. En realidad, hay otras diagonales menores, pero para este ejemplo resultan innecesarias.

2) Los Sudoku presentan una grilla de 9 x 9 en lugar de 5 x 5, y en lugar de cinco letras como había acá, aparecen los dígitos del 1 al 9. Hay algunas otras restricciones respecto a los cuadrados de 3 x 3 y no siempre se usan las diagonales, pero esencialmente es el mismo juego.

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