CONTRATAPA

Cuatro bolitas de colores

 Por Adrián Paenza

En la comunidad matemática, cada uno atiende su juego. Digo, cada matemático invierte su tiempo investigando sobre el (o los) tema(s) de su especialidad. No es raro que esto suceda, teniendo en cuenta que nadie le pediría a un experto en cardiología que sea también consultor en nefrología, o a un ingeniero civil que participe en la construcción de un satélite.

Sin embargo, hay algunos problemas que generan siempre controversias y son los que tienen que ver cuando hay que calcular la probabilidad de que un cierto evento suceda (o no). A lo largo de los años he tratado de exhibir algunos[1], pero comparado con la masa enorme de problemas, cuatro ejemplos no sirven para mover el amperímetro. De todas formas, quiero proponer acá un caso mucho más sencillo y que, hasta donde sé, nadie discutió el resultado, pero me parece que vale la pena pensarlo.

Es nivel de dificultad es mucho menor, pero todo resulta más fácil cuando uno descubre qué es lo que tiene que hacer. Acá voy.

Suponga que hay cuatro bolitas dentro de una caja: una de color blanco, otra de color negro y dos bolitas de color rojo.

Después de mezclarlas durante un rato, un señor mete una mano en la caja y extrae dos de las cuatro bolitas.

Sin que nadie pueda ver dice:

“De las dos bolitas que saqué hay una que es roja. ¿Cuál es la probabilidad de que la otra bolita sea roja también?”

Antes de avanzar, me apresuro a escribir que el resultado correcto no es 1/3.

Ahora, le toca a usted.

Solución

Para calcular la probabilidad de que un cierto evento suceda, hacen falta conocer dos datos:

Los casos favorables.
Los casos posibles.

Después, uno divide (los favorables sobre los posibles) y el resultado es el que uno busca: la probabilidad de que el tal evento suceda.

Por ejemplo, cuando uno tira un dado y quiere saber cuál es la probabilidad de que salga el número cinco, uno concluye que esa probabilidad es 1/6, porque hay un solo caso favorable (ya que hay un solo cinco entre las caras del dado) y hay seis casos posibles (todos los números del 1 al 6). Al dividir los casos favorables (uno) por los casos posibles (seis), se obtiene el número 1/6.

Si yo preguntara ahora: “al tirar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número par?”, entonces, la respuesta es 1/2, porque hay tres casos favorables (2, 4 y 6) sobre seis posibles (1, 2, 3, 4, 5 y 6).

Esa definición (“casos favorables” sobre “casos posibles”) es lo que está en las entrañas de todo lo que tenga que ver con la teoría de probabilidades. Por supuesto, la teoría es una cosa y después calcular esa probabilidad es algo no necesariamente trivial, pero esa ya es otra historia.

Sigo. Cuando uno tiene un problema de estas características, es bueno encontrar una forma de modelarlo para que sea más sencillo de pensar. La idea es encontrar una situación equivalente (modelo) que represente el problema.

Si el modelo es bueno y hace más sencillo contar los casos favorables y los casos posibles, entonces uno avanzó en la dirección correcta.

Los debates que se generan habitualmente tienen que ver con que los modelos no son necesariamente representativos de la situación, o bien uno termina calculando mal alguno de los dos números, el de los casos favorables o el de los posibles.

De todas formas, no creo que el ejemplo que me ocupa acá presente ninguna dificultad de este tipo.

Voy a ponerles un nombre a las bolitas que están en la caja.

B = Blanca
N = Negra
R1 = Roja 1
R2 = Roja 2

¿Cuáles son las posibilidades al extraer dos bolitas? Sígame para ver si usted está de acuerdo:

B y N
B y R1
B y R2
N y R1
N y R2
R1 y R2

Y no hay más. Estos son los únicos seis pares que se pueden extraer. Sin embargo, como el señor que metió la mano en la caja anunció que una de las bolitas era roja, esto reduce inmediatamente el número de pares que puede tener en la mano. De hecho, si se fija en los seis que figuran acá arriba, uno solo de ellos no contiene una bolita roja, el par (B y N).

Los posibles pares que puede tener en su mano son estos cinco:

(B-R1), (B-R2), (N-R1), (N-R2) y (R1-R2).

Ahora, necesitamos contar los favorables. ¿Qué quiere decir esto? Esto dice que de los cinco pares posibles, hay solamente uno que tiene dos bolitas rojas: (R1-R2).

Luego, al dividir “casos favorables” sobre “casos posibles”, uno descubre que la probabilidad de que la otra bolita sea también roja, es de (1/5).

No sé si resultaba obvio, pero ciertamente la primera tentación es contestar que la probabilidad es (1/3), porque uno piensa que como una de las dos bolitas ya es roja, ¿de qué colores puede ser la otra?: roja, blanca o negra. Luego, uno cree que la probabilidad de que sea roja se mide por una en tres, pero como uno puede comprobar (leyendo más arriba), eso no es correcto.

Notas:

[1] a) el famoso caso de Monty Hall (http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/136407420060310.html ); b) la probabilidad de tener dos hijas mujeres: http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/136834720060614.html); c) historia de cachorros http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/1310621920080618.html; d) atentado contra la intuición (http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/1311567320081127.html)

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